Возникновение понятий счета и натурального числа из практической деятельности и долгий опыт их применения создают у человека уверенность правильности выводов, полученных путем абстрактного мышления (22, 5-7).
Чтобы понять, откуда взялись натуральные числа и что они собой представляют, надо разобраться в том, что такое счет предметов.
Потребность в счете предметов возникает тогда, когда мы встречаемся с множеством ( совокупностью, группой ) предметов и нам нужно решить такие задачи:
1. Установить количество предметов в этом множестве, т. е. найти непосредственную количественную оценку этого множества .
2. Установить определенный порядок между предметами этого множества.
Перед человеком в его практике все время возникала необходимость иметь дело с совокупностями вещей, сравнивать их численность. Он воспринимал численность совокупности вещей без счета их. О численности группы пяти вещей он говорил: “столько же, сколько пальцев на руке”, и т. д. Отвлеченных понятий чисел “пять”, “двадцать” у человека долго не было. Анологично этому человек, не имея отвлеченных понятий “чернота”, ”твердость”, говорил о предметах: “как ворон” (черный), “как камень” (твердый). В результате очень долгого периода развития человек пришел к понятию того, что совокупности “пять пальцев”, “пять собак”, “пять домов” имеют некоторое общее свойство, которое можно выразить с помощью понятия отвлеченного числа ”пять”. Все сказанное к следующему определению числа : “каждое отдельное число, как “два“, “пять” и т. п., есть свойство совокупностей предметов, общее для всех совокупностей, предметы которых можно сопоставить по одному, и различное у таких совокупностей, для которых такое сопоставление невозможно”. Итак, согласно сказанному перед человеком в его практике возникла задача количественного сравнения совокупаностей предметов. Нам теперь кажется, что для такого сравнения надо сосчитать предметы в одной и другой совокупностях и сравнивать полученные числа. Возникает вопрос, необходимо ли было возникнуть сначала понятие числа, чтобы появилось возможность устанавливать количественные соотношения между совокупностями объектов? На этот вопрос приходится отвечать отрицательно. Ребенок, который еще не умеет считать до пяти может установить, что у него пальцев на обеих руках одинаковое количество. Он может сопоставить пальцы обеих рук и убедиться в этом. Примитивный человек из лесов Центральной Африки умел считать в крайне ограниченных пределах, скажем, только до трех, но, несмотря на это, он уверенно обменивал большое количество слоновых клыков на пачки табака, не боясь быть обманутым заморскими купцами.
Для этого он сопоставлял количество клыков с каличеством пачек табака, укладывая рядом каждый клык с пачкой табака и таким образом убеждался в равночисленности обмениваемых совокупностей предметов.
Описание такой картины счета при обмене, более близкой нам и по времени, и по месту, мы находим в художественной литературе. Так, например, советский писатель–этнограф Г. Гор записывает слова представителя маленького народа северного Сахалина: «Был у нас старик. Не знал, сколько ему лет. Решил начать счет. Год пройдет - рыбью голову в амбар положит. Опять год пройдет - опять голову и так далее» История возникновения и эволюции у человека представления о натуральном ряде охватывает данные из всех областей истории культуры – способов производства, языка, литературы, верований и т. д.
Свидетельства этнографов убеждают нас в том, что до сих пор существуют племена, не имеющие числительных, кроме один, два, три. Более многочисленная группа предметов у них характеризуется словами «много», «куча», «тьма». Эскимос знает и хранит в памяти не числа своих собак, а индивидуальные особенности каждой, подобно тому как ребенок, не умеющий еще считать, представлять свои куклы игрушки по их признакам. Счет, которым пользовались первобытные люди и которым иногда пользуются и сейчас, особенно дети, состоит в том, что предметы подсчитываемого множества сопоставляются, т. е. ставятся друг против друга, с предметами некоторой определенной совокупности. У большинства народов такой стандартной совокупности служили пальцы рук, а иногда пальцы ног (счёт на пальцах). Наряду с пальцевым счётом для этой цели широко использовались зарубки на дереве, узелки на верёвках, применялись некоторые предметы, например раковины, бобы и т. д. Первобытный человек мог подсчитать лишь небольшую совокупность предметов. Так, например, индийские племена в Бразилии считали только до пяти, т.е. до числа пальцев на одной руке. А все, что больше пяти, они называли много. При этом они не осознавали, что есть общего, например, между двумя зайцами, двумя лодками, двумя рыбами и т.д. вот почему для называния числа «два» или «три» использовались разные слова в зависимости от того, о каких двух или трех предметах шла речь.
Однако постепенно, на протяжении многих веков, в процессе совершенствования счета, человек начал осознавать то общее, что имеют «три человека» и «три палки», вообще любые множества, имеющие три предмета. В результате образовались абстрактные числа «один», «два», «три», «четыре», и т. д. А вот выдающийся русский ученый-путешественник Н.Н. Миклухо-Маклай (1846-1888 гг.) описывает, как производили счет папуасы, жившие на островах Новой Гвинеи, так: «Излюбленный способ счета состоит в том, что папуас загибает один за другим пальцы руки, причем издает определенный звук, например «бе, бе, бе…». Досчитав до пяти, он говорит «ибон-бе» (рука). Затем он загибает пальцы другой руки, снова повторяет «бе,бе,...», пока не доходит до «ибон-али» (две руки), т.е. два множества по пять элементов.
Если нужно считать дальше, папуас пользуется пальцами рук и ног кого-нибудь другого». (20, 5-7). Так у Геродота-греческого историка пятого века до н.э. читаем: «Персидский царь Дарий, оставив на время похода (в южнорусские степи) греков для охраны моста, построенного им через Дунай сказал: возьмите этот ремень и начиная с того дня, как я пойду на скифов, развязывайте на нем каждый день по одному узлу; когда минует число дней, означенное узлами, и я не вернулся, плывите обратно на родину. Аналогичный прием описывает Т. Семушкин в упомянутой уже повести: «Чукче Омрытагену оставили связку пуговиц. Он их по одной снимает каждое утро. Кончится вся связка, тогда он поедет на «праздник говоренья» (конференцию). Здесь мы в том и в другом случае имеем тоже обращение к множествам объектов, породившим числовое понятие, какое повторяет учитель арифметики в начальных классах, приглашая учеников считать с помощью кубиков, палочек, пальцев. (20, 22-23).
Итак, в математике вначале было не число, а множество. Анализ понятия множества и выяснения его подлинного значения в математике есть заслуга главным образом немецкого математика Георга Кантора (1845-1918 гг.). Созданная им теория множеств, некоторые идеи которой имелись и у предшественников Кантора и в частности были сравнительно подробно разработаны у чешского философа Бальцано (1781-1848 гг.), лежит ныне не только в основе математического анализа, но и проникает в известной мере в учебники школьной арифметики и алгебры. Современной человек уже в ранние годы жизни легко приобретает способность считать, называя числа один, два, три, четыре и т.д. Этот числовой ряд мы называем натуральным, его элементы - натуральными числами. Уже в I н. э. греческий математик Никомах говорит о натуральном, т. е. естественном ряде чисел. Термин «натуральное число» впервые употребляет римский автор Боэций (475-524 гг. н.э.). Время от времени термин этот встречается затем в рукописях XI века и позже. В современном смысле понятии «натуральное число» и последовательное употребление термина находит применение у французского просветителя Даламбера (1717-1783 гг.) в изданной им сотрудничестве с другими передовыми писателями во всеобщее употребление. Во многих языках, в том числе славянском, существуют такие грамматические формы, как единственное число, двойственное число и множественное; слово, обозначающее предмет, имеет различные окончание, в зависимости от того идет ли речь об одном, о двух или более чем о двух предметах. В некоторых языках имеется еще особая форма тройственного числа. Эти языковые формы являются пережитками той отдаленной эпохи развития, в которую человеком были освоены лишь числа один и два или один, два и три; всякая более многочисленная группа предметов характеризовалась словами «много», «тьма». В замечательном памятнике древнерусской литературы «Поучение Владимира Мономаха» написанном лет восемьсот назад, формы слов в различных падежах совпадают с современными, когда речь идет об одном или о многих предметах (формы единственного или множественного чисел). Когда же говорится о двух предметах или парных, появляется непривычная нам форма. «Конь диких своима рукама связал есмь. А лось ругама бол…»