Профилактика затруднений школьников при обучении математике на примере темы Уравнения с переменной (стр. 2 из 4)
Мордкович А. Г. «Алгебра 9»
1. Рациональные неравенства
2. Системы уравнений
3. Функция, область определения
4. Функция
и её график.5. Тригонометрические функции.
Анализ приведенного материала
Проанализировав основные учебники, можно сделать вывод, что во всех учебниках 8 класса тема «рациональные уравнения» излагается довольно полно, однако, пропедевтика этой темы не приводится на достаточном уровне ни в одном учебнике. Отсюда у учащихся непонимание логики решения уравнений данного вида, формальный подход к их решению. Кроме того, в связи с частым использованием подобных уравнений в последующих темах, также необходимо повторение темы в 9 классе, которое в учебниках также мало представлено.
Темы, в которых затрагивается изучаемый раздел:
· Введение операции деления
· Изучение операций с дробями, основное свойство дроби.
· Деление целых чисел
· Деление рациональных чисел
· Уравнения с 1 переменной и его корни
· Функция, график функции: нахождение области определения функции
· Выражения с переменными
· Рациональные дроби и их свойства, деление дробей
· Функция «обратная пропорциональность»
· Решение дробных рациональных уравнений
· Элементы тригонометрии
· Рациональные неравенства
· Системы уравнений
2. Обзор методов изучения темы
Метод - умножения дробей на их общий знаменатель.
Для примера решим дробное рациональное уравнение
(1)Умножим обе части уравнения на общий знаменатель дробей, т е на выражение
. Получим целое уравнение 
.(2)Понятно, что каждый корень уравнения (1) является корнем уравнения (2). Но уравнение (2) может быть не равносильно исходному, так как мы умножили обе его части не на число, отличное от нуля, а на выражение, содержащее переменную, которое может обращаться в 0. Поэтому каждый корень уравнения (2) обязательно окажется корнем уравнения (1).
Упростив уравнение (2), получим квадратное уравнение
Его корни – числа -2 и 5.
Проверим, являются ли они корнями уравнения (1). При
общий знаменатель не обращается в 0. Значит, число -2 – корень уравнения(1).Итак, корнем уравнения (1) служит только число -2.
Вообще, при решении дробных уравнений целесообразно поступать следующим образом:
1. Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
2. Умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
3. Решить получившееся целое уравнение;
4. Исключить из его корней те, которые обращают в 0 общий знаменатель.
Метод, использующий равенство дроби 0.
Начнем с примера. Пусть требуется решить уравнение
(1)Перенесем выражение
в левую часть уравнения с противоположным знаком, т. е. прибавим к обеим частям уравнения по 
и разность 
в правой части уравнения заменим нулем. Получим уравнение 
(2)Может ли при переходе от уравнения (1) к уравнению (2) произойти потеря или приобретение корней?
Очевидно, что так как разность
тождественно равна 0 на множестве тех значений у, при которых 
то мы могли бы приобрести новые корни за счет значений у, обращающих в нуль выражение 
Но они не могут служить корнями уравнения (2), так как при этих значениях выражение 
, входящее в качестве слагаемого в левую часть уравнения (2), теряет смысл.Рассуждая аналогично, мы можем показать, что вообще уравнение r(х) = р(х), где r(х) и р(х) — рациональные выражения, причем хотя бы одно из них дробное, равносильно уравнению r(х) —p(x)=0
Вернемся к рассматриваемому примеру. Представив теперь cумму дробей
в виде отношения двух многочленов, получим уравнение
(3)Так как в результате преобразования суммы дробей в дробь мы получили выражение с той же областью определения и тождественно равное исходному выражению на этой области, то уравнение (3) равносильно уравнению (2), а следовательно, и уравнению (1).
Всякое ли преобразование дробного выражения r(х) — p(х) в дробь, числитель и знаменатель которой многочлены, позволяем от уравнения r(х) — р(х) = 0 перейти к равносильному уравнению вида
, где f (х) и g (х) — многочлены?Рассмотрим примеры.
Пример 1. Заменив в уравнении
(4)выражение
дробью 
и сократив эту дробь, мы получим уравнение х (х - 2) = 0, (5) не равносильное уравнению (4). Действительно, число 2 удовлетворяет уравнению (5), но не удовлетворяет уравнению (4).Нарушение равносильности произошло за счет того, что мы выполнили тождественное преобразование, приводящее к выражению с более широкой областью определения: выражение
определено при х 
2, а выражение х (х — 2) — при любом значении х.Пример 2. В уравнении
(6)заменим разность
числом 0. Получим уравнение 
(7)Уравнение (7) не равносильно уравнению (6), так как существует такое значение переменной х (число 3), которое удовлетворяет уравнению (7), но не удовлетворяет уравнению (6).
Равносильность нарушена в связи с тем, что область определения выражения
шире, чем область определения выражения 
Если же при замене разности r (х) — р (х) рациональных выражений, хотя бы одно из которых дробное, дробью
, где f (х) и g (х) — многочлены, были выполнены только те тождественные преобразования, которые не меняют области определения выражения, то получится уравнение 
равносильное уравнению r(х) — p(х) = О, а значит, и уравнению r(х) = р(х).Так для уравнения (4) равносильным является уравнение
.
Для уравнения (6) равносильным является уравнение
т. е. уравнение
Заметим, что в том случае, когда в ходе выполнения тождественных преобразований область определения выражения расширилась, предложением, равносильным уравнению r(х) — р(х) = 0, будет являться система, составленная из уравнения
и ограничений, накладываемых на х в связи с изменением области определения. Например, для уравнения (4) равносильным предложением является система 
для уравнения (6) — система
Для решения уравнения вида
где f(х) и g(х) — некоторые многочлены, используется условие равенства дроби нулю: дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля. Поэтому уравнение указанного вида равносильно системе 
Необходимо подчеркнуть, что здесь для нас существенным является тот факт, что выражение g(х) имеет смысл при любом х. В общем случае уравнение
вида равносильно системе