Профилактика затруднений школьников при обучении математике на примере темы Уравнения с переменной (стр. 4 из 4)
изначально сказать, что функция определена только на своей области определения, а значит, в 0 не существует.
При построении графика функции (табличном) шаг таблицы в окрестности точки 0 брать меньше.
С учетом этих замечаний можно выполнить задания вида:
 |  |  |
Выражения с переменными
Заданий на нахождение области определения в этой теме достаточно, однако стоит обратить внимание на обоснование запрета деления на 0, а также на задания вида: Сравните множества значений выражений
  |  |
Функция «обратная пропорциональность»
К моменту изучения этой функции учащиеся должны знать про особенность её области определения (при необходимости можно повторить, решая задания на определение множества значений функции с переменной в знаменателе), что позволяет правильно начертить график (ОУ - асимптота). Изучение её поведения в окрестности точки 0, построение графика позволяют получить наглядное представление о проблеме деления на 0.
Решение дробных рациональных уравнений
Эта тема является основной в изучении данного вопроса, при соблюдении вышеуказанных рекомендаций, её изучение не должно вызвать трудностей, однако, перед началом изучения необходимо повторить следующие факты:
Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же не равное 0 число.
К обеим частям уравнения можно прибавить одно и то же число.
Условие равенства дроби 0: дробь равна 0, когда её числитель равен 0, а знаменатель не равен 0.
Далее следует рассмотреть алгоритм решения рационального уравнения с проверкой изменения множества допустимых значений на каждом шаге.
Есть 2 способа решения таких уравнений: традиционный и способ, использующий равенство дроби 0. (см. Глава 1)
Традиционный способ прост и алгоритмичен, но решение уравнений такого вида традиционным способом «отбрасывания знаменателя», который заключается в том, что левая и правая части уравнения представляются в виде дробей, а затем умножаются на общий знаменатель дробей неудачно. Учащиеся плохо понимают, на чем основано «отбрасывание знаменателя», а приобретенное умение переносят на тождественные преобразования дробных выражений, что влечет за собой грубейшие ошибки.
Использование условия равенства дроби нулю или условия равенства двух дробей позволяет добиться более глубокого понимания существа дела и значительно снизить число ошибок, допускаемых учащимися при решении уравнений указанного вида.
Однако, несмотря на простоту обоснования, второй способ более сложен, потому что при нем необходимо проверять изменения области определения уравнения при каждом преобразовании.
Итак, для решения таких уравнений используется 2 альтернативных метода, один – более алгоритмичен, но его обоснование не доступно ученикам, второй прост в обосновании, относительно сложен в реализации, но очень полезен при решении более сложных уравнений, когда учитываются не только нули знаменателя, но и область определения более сложных (тригонометрических, логарифмических, степенных, показательных) функций.
В качестве дополнительных упражнений, особенно для второго метода, необходимо включить в систему задач следующие:
Подобные уравнения показывают, что необдуманное приведение подобных слагаемых или сокращение дроби приводит к расширению области определения.
Элементы тригонометрии, Рациональные неравенства, Системы уравнений
В этих темах широко используются методы решения рациональных уравнений, по этому, закрепление данной темы в основной школе происходит именно в этих разделах.
Уравнения с переменной в знаменателе – сложная для усвоения тема, она требует обширных знаний, умений и навыков в решении линейных уравнений, преобразованию многочленов и алгебраических дробей. Для её понимания необходимы навыки в выполнении таких заданий, как: найти множество допустимых значений переменной, упростить дробное выражение. Необходимым также является четкое понимание невозможности деления на 0.
Всё это достигается путем пропедевтики на этапе изучения соответствующих тем в 5-8 классах, периодическим повторением перечисленных вопросов, отработкой нужных навыков. Перечисленные рекомендации призваны помочь в организации этой работы.
Во время изучения данной темы существует несколько подходов к решению и теоретическому обоснованию алгоритма решения, выбор правильного подхода влияет как на понимание данной темы, так и на восприятие последующих тем и алгоритмов.
Применение навыков решения уравнений с переменной в знаменателе не ограничивается рассмотренными темами, они применяются во многих разделах в процессе дальнейшего изучения предмета. Поэтому, в дальнейшем также необходимо периодически обращаться к этому вопросу с целью повторения.
Частная методика:
1. Методика преподавания математики в средней школе. /Под ред. Мишина В.И. - М.: Просвещение 1987. Талочкин П.Б. Неравенства и уравнения. - М.: Просвещение, 1970.
2. Колягин Ю.М., Луканкин Г.Л. «Основные понятия школьного курса математики» / Пособие для учителей. Под ред. А. И. Макушевича. М., «Просвещение» 1974.
3. Микракова Т.Н. «Развивающие задачи на уроках математики в 5 – 8 классах» / пособие для учителя, Журнал «Квантор», 1991
4. Черкасов Р.С. И др. «Методические разработки по методике преподавания математики в средней школе (4-8 классы)» / МГПИ им. Ленина, Москва 1980.
5. Брадис В.М. «Методика преподавания математики в средней школе» под ред. Маркушева А. И. / Москва, УЧПЕДГИЗ, 1954.
Учебники:
6. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Шарыгин И.Ф. и др. «Математика 5» / Дрофа, 1996.
7. Истомина Н.Б. «Математика 5 класс» / изд. XXI-век, 2005.
8. Волович М.Б. «Математика 5» / Вентана-Граф; 2003.
9. Виленкин Н.Я., Жохов В.И., Чесноков А.С., Шварцбурд С.И. «Математика 6». / Мнемозина, 1997
10. Дорофеев Г.В., Суворова С.Б., Шарыгин И.Ф. и др. «Математика 6» / Дрофа, 1996.
11. Истомина Н.Б. «Математика 6 класс» / изд. XXI-век, 2005.
12. Нурк Э.Р., Тельгмаа А.Э. «Математика 6» / Дрофа, 1996
13. «Алгебра»: Учеб. Для 7 кл. общеобразовательных учреждений / Под редакцией С.А. Теляковского - М: Просвещение, 2002.
14. Алимов Ш.А., Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. «Алгебра: Учеб. Для 7 кл.» / М: Просвещение, 1999.
15. Макарычев Ю.Н. «Алгебра 7 класс» / Просвещение, 2003.
16. «Алгебра»: Учеб. Для 8 кл. общеобразовательных учреждений / Под редакцией С.А. Теляковского - М: Просвещение, 2002.
17. Мордкович А.Г. и др. «Алгебра 8 класс» / Учебник для общеобразовательных учреждений - М: Мнемозина, 2002.
18. Алимов Ш.А., Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. «Алгебра: Учеб. Для 9 кл.» / М: Просвещение, 1999.
19. Мордкович А.Г. и др. «Алгебра 9 класс» / Учебник для общеобразовательных учреждений - М: Мнемозина, 2002.