Методика введения понятия производной функции (стр. 1 из 3)
Министерство образования Республики Беларусь
Учреждение образования
"Гомельский государственный университет им. Ф. Скорины"
Математический факультет
Кафедра МПМ
Методика введения понятия производной функции
Реферат
Исполнитель:
Студентка группы М-33 Бондорчук А.Ю.
Научный руководитель:
Канд. физ-мат. наук, доцент Лебедева М.Т.
Гомель 2007
Содержание
Введение
1. Образовательные цели изучения производной функции
2. Различные подходы к введению понятия производной функции в курсе средней школы
3. Методическая схема изучения производной
4. Изучение приложения производной в курсе школьной математики
Заключение
Литература
Введение
Цель изучения курса алгебры и начала анализа в 10-11 в.в. систематическое изучение функций как важнейшего математического объекта средствами алгебры и математического анализа, раскрытие политехнического и прикладного значения общих методов математики, связанных с исследованием функций, подготовки необходимого апорта для изучения геометрии и физики.
Курс характеризуется содержательным раскрытием понятий, утверждений и методов, относящихся к началом анализа, выявлением их практической значимости. При изучении вопросов анализа широко используются наглядные соображения: уровень строгости изложения определяется с учётом общеобразовательной направленности изучения начал анализа и согласуется с уровнем строгости приложений изучаемого материала в смежных дисциплинах.
1. Образовательные цели изучения производной функции
При изучении темы "Производная" проявляются известные трудности, связанные с осуществлением предельных переходов. Важно поэтому придать изложению возможно более наглядный и конкретный характер.
Включённые в курс сведения о пределах имеют вспомогательный характер, они не обходимы для вывода формул производных. Основное внимание должно быть уделено не формальному применению теорем о пределах, а сознательному проведению предельных переходов для приближённого вычисления значений конкретных функций и их приращений. Многочлены невысоких степеней и их частных -наиболее простой объект для иллюстрации идеи предельного перехода.
Определению производной функции как предела разностного отношения предшествует рассмотрению особенностей поведения графиков гладких функций, приводящее к понятию касательной. Производная функции появляется сначала как тангенс угла наклона касательной к оси абсцисс. Тем самым с понятием производной на первом этапе связывается наглядный образ – касательная. Предельные переходы появляются как средство вычисления производной.
При изучении применения производной существенная роль отводится наглядным представлениям о производной. Опора на геометрический и механический смысл делают интуитивно ясными критерии возрастания и убывания функций, признаки максимума минимума.
Решение тестовых задач физического, геометрического и практического содержания с применением производной позволяет учащимся ознакомиться со всеми этапами решения прикладных задач: составление математической модели (перевод задачи на язык функций), решение полученной задачи средствами математического анализа, и наконец, интерпретация полученного решения в терминах исходной задачи.
2. Различные подходы к введению понятия производной функции в курсе средней школы
Различные подходы к введению производной определяются логической связью этого понятия с более общим понятием предела функции в точке.
Логический подход при введении производной в качестве базисного понятия использует определение предела функции в точке. Так в учебных программах по математике 1968 года, используя этот подход, определяли это понятие: 1) исходя из арифметического толкования предела функции (определение по Коши или на языке абсолютной погрешности):
2) исходя из операции предела функции в точке через окрестности (топологическое):
a- предельная точка множества E, т.е. 
В действующих школьных программах по математике при введении производной функции используют исторический подход, т.е. первоначально формируются понятия производной, и только затем, как обобщение, понятие предела функции. При таком подходе большое внимание уделяется практическим аспектам изучения производной.
3. Методическая схема изучения производной
I.Привести подводящую задачу, раскрывающую физический смысл понятия производной: свободное падение тела, которое не является равномерным. Охарактеризуем скорость падения в каждый данный момент времени t , т.е. введём понятие мгновенной скорости свободного падения тела. Известно, что средняя скорость определяется отношением
, причём чем меньше значение 
, тем менее "заметно" изменение средней скорости падения. При 
, отношение 
стремится к значению мгновенной скорости. Таким образом мгновенная скорость характеризует скорость изменения пути 
в момент времени t.В общем случае, с любым реальным процессом может быть связана задача:
Пусть
-параметр данного процесса, зависимости от x ; найти скорость изменения параметра в момент, когда 
. Решение задачи сводится к нахождению отношения приращения параметра 
, соответствующую приращению 
.II.Сформулировать определение понятия производной.
Так как в определении отсутствует понятие предела, то первоначально следует сформировать у учащихся понятие приращения как изменения и аргумента и функции.
Например:
После рассмотрения геометрического смысла производной вводим определение:
Производной функции в точке
называется число, к которому стремится разностное отношение: 
Полезен небольшой анализ формулировки определения, позволяющий чётче выделить признаки данного понятия: 1) число, 2) к которому стремится разностное отношение 
3) при 
Закреплению определения производной способствует вопрос: "Как найти производную функции
в точке ?", ответ на который может быть дан в форме алгоритма: 1) значению придаём приращение 
; 2) находим приращение функции в точке 
; 3) составляем разностное соотношение; 4) находим число 
(если такое число существует), к которому стремится при III. Конкретизировать понятие производной (путём вычисления производной по определению: выяснение её геометрического смысла, графическое отыскание производной)
Первый пример на выяснение производной полезно выполнить на двух уровнях: а)
задано конкретным числом; б) берётся в общем виде.Например: Дана функция
. Найти её производную в точке: а) x=2; б) а) Придадим приращение
в точке х=2, новое (приращённое) значение аргумента –(2+ ). Найдём приращение функции: 
Вычислим разность отношения
Оно стремится к 2 при
