Методические основы уровневой дифференциации при обучении алгебре в классах с углубленным изучен (стр. 11 из 16)
Решение.
Ответ:
.Стандартная схема решения текстовых задач состоит из трех этапов:
1. Выбор неизвестных.
2. Составление уравнений (неравенств).
3. Нахождение нужного неизвестного или нужной комбинации неизвестных.
Рассмотрим несколько примеров.
9. От пристани А одновременно отправились вниз по течению катер и плот. Катер спустился вниз по течению на 96км, затем повернулся обратно и вернулся в А через 14ч. Найти скорость катера в стоячей воде и скорость течения, если известно, что катер встретил плот на обратном пути на расстоянии 24км от А.
Решение.
I способ (алгебраический).
1) Пусть
(км/ч) скорость катера в стоячей воде, у (км/ч) – скорость течения.2) Составим уравнения. Поскольку скорость катера при движении по течению
, а против течения 
, то на основании того, что сказано во второй фразе условия, получим: 
или 
Вторая часть последней фразы дает нам
(плот прошел до встречи 24км, катер 96 – 24 =72км на обратном пути).Таким образом, имеем систему уравнений
Подставляем
в I уравнение системы 
Ответ: скорость катера в стоячей воде 14км/ч, скорость течения 2км/ч.
II способ (арифметический).
Итак, если катер удаляется от плота или приближается к нему, то его скорость относительно плота равна скорости катера в стоячей воде, меняется лишь направление этой скорости. Следовательно, катер удаляется от плота за то же время, что и приближается к нему, т.е. путь в 96км пройден за то же время, что и путь 72км (против течения).
96 : 72 = 4 : 3- отношение скорости катера по течению к скорости катера против течения.
Весь путь занял 14ч. Разделим число 14 на части пропорционально 3:4 :
катер шел по течению; 
катер шел против течения.96 : 6 =16 (км/ч) – скорость по течению;
96 : 8 =12 (км/ч) – скорость против течения;
- скорость течения; 
- собственная скорость катера.Ответ: 2км/ч; 14км/ч.
Как видно из решения задачи 9 «арифметический» способ решения зачастую удобнее, так как для него характерна достаточность знаний и умений, которыми располагает учащийся, окончивший начальную школу плюс, конечно развитый логический аппарат.
10. Лошадь съедает копну сена за 2 дня, корова может съесть такую же копну за 3 суток, овца за 6 суток. За какое время они съедят эту копну вместе?
Решение.
Задача может даваться с 6 класса. Итак, если лошадь съедает копну сена за 2 дня, то за один день она съест
часть копны, аналогично корова 
часть копны, а овца 
часть копны.За один день вместе они съедают
копны сена, т.е. всю.Ответ: 1 день.
Функции
Наибольшее значение
при 
. Возвращаясь к 
, получим, что 
при 
Ответ: наибольшее значение
.Почти вся теория квадратного трехчлена основывается на приеме, называемом «выделение полного квадрата»:
- дискриминант квадратного уравнения.Если
, то уравнение имеет два корня,
,то уравнение имеет1 корень (2 совпадающих);
, уравнение не имеет действительных корней.11. Доказать, что при любом
уравнение 
имеет решения.Процесс нахождения дискриминанта и доказательства, что он положителен достаточно трудоемкий, поэтому попробуем другой метод решения.
Пусть
. 
при любом .Т.о. уравнение всегда имеет решение, причем если
, то уравнение имеет два корня; при этом всегда имеется корень, удовлетворяющий неравенству 
.12. Пусть
и 
корни уравнения 
. Выразить 
через 
и 
.Решение.
Необходимо выразить
через 
и 
: 
По теореме Виета
тогда
Ответ:
.13. Определить все значения параметра
, при которых уравнение 
имеет 1 корень.Решение.
В условие не сказано, что рассматривается квадратное уравнение, поэтому рассмотрим случай
Остальные значения параметра получим из уравнения
. 
Ответ:
Простейший прием нахождения наибольших значений, основанный на свойствах квадратичных функций состоит в том, что исследуемая функция при помощи преобразований или замены переменной приводится к квадратичной, после чего выделяется полный квадрат.
14.Найти наибольшее значение функции
Решение.
Положим
, тогда 
Отсюда 
Итак, после замены получим, что надо найти наибольшее значение15.Найти наибольшее и наименьшее значения функции
.Решение.
Рассмотрим данное неравенство как уравнение с неизвестным
и параметром 
.После преобразований получим
Для того, чтобы уравнение имело решение необходимо и достаточно, чтобы