Разработка технологий повторения темы Логика высказываний (стр. 3 из 24)
Таблица истинности для операции импликации такова:
| А | В | А  В |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 |
Замечания:
1)Иногда вместо "
" используют знак " 
".2)Два главных момента в свойствах импликации: истина не может имплицировать ложь, но из лжи следует что угодно. Такое уточнение истинностного смысла связки "если А, то В" не противоречит обычной практике, скорее даже ее расширяет.
5) Эквивалентность
Еще одна логическая операция - эквивалентность (или эквиваленция) - соответствует оборотам русского языка типа "тогда и только тогда, когда...", "для того, чтобы..., необходимо и достаточно..." и др. и обозначается знаками "
", "~".К эквивалентности в той же мере, что и к импликации, относится замечание о том, что ее использование в логике высказываний не учитывает смысловое содержание высказываний. И здесь наши интуитивные представления об эквивалентности относятся лишь к случаю, когда высказывание А
В является абсолютно истинным (т.е. истинным во всех возможных ситуациях). В логике же эквивалентность принимается истинной, когда А и В получают одинаковые истинностные значения.Определение: Если А и В - высказывания, то А
В (читается: "А эквивалентно В") есть сложное высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда одновременно А и В истинны либо оба ложны.Приведем таблицу истинности для эквивалентности:
| А | В | А В |
| 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
Пример: Пусть А – "Хлеба уцелеют", В - "вырыты оросительные канавы" Тогда высказывание
или "Хлеба уцелеют тогда и только тогда, когда будут вырыты оросительные канавы".6) Штрих Шеффера
Следующая логическая операция называется штрих Шеффера и обозначается символом». «Аналогом в русском языке служит оборот «не …или не …»
Определение: Если А и В - высказывания, то А
(читается: "А штрих Шеффера В") - сложное высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда А и В истинны одновременно.Таблица истинности для этой операции
| А | В | А |
| 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 |
Пример: Пусть А – "Противоположные стороны трапеции не конгруэнтны", В - " Противоположные стороны трапеции не параллельны" Тогда высказывание
или "Противоположные стороны трапеции не конгруэнтны или не параллельны" - истинное.7) Стрелка Пирса
В качестве последнего примера логической операции рассмотрим связку, называемую стрелка Пирса, аналогом в русском языке служит оборот «не …и не …». Обозначается эта операция символом "
".Определение: Если А и В - высказывания, то А
В (читается: "А стрелка Пирса В") - сложное высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда А и В ложны одновременно.Таблица истинности для этой операции:
| А | В |  |
| 1 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
Пример: Пусть А – "Петр не едет на Урал", В - "Николай не едет в Сибирь" Тогда высказывание
или " Петр не едет на Урал и Николай не едет в Сибирь " - истинное.1.2 Формы записи высказываний. Алгоритмические способы решения логических задач
1.2.1 Формулы логики высказывания и их свойства
Элементарные высказывания в логике высказывания рассматриваются как не расчленяемые "атомы", а составные высказывания - как "молекулы'', образованные из "атомов" применением к ним логических операций. Логика высказываний интересуется единственным свойством элементарных высказываний их значением истинности, составные же высказывания изучаются ею со стороны их структуры, отражающей способ, которым они образованы. Структура составных высказываний определяет зависимость их значений истинности от значений истинности составляющих элементарных высказываний.
Пусть А, В, С и т.д. - переменные, вместо которых можно подставлять любые элементарные высказывания с помощью этих переменных и символов логики любое высказывание можно формализовать, то есть заменить формулой выражающей ее логическую структуру.
Например, высказывание: "Если 20 делится на 2 и на 5, то 20 делится на 10", формализуется в виде
. Такая же формула соответствует предложению: "если в четырехугольнике две противоположные стороны равны и параллельны, то этот четырехугольник - параллелограмм "Уточним понятие формулы логики высказываний. Для этого сначала зададим алфавит, то есть набор символов, которые можно употреблять в логике высказываний.
1) А,В,С и т.д. - символы для обозначения высказываний;
2) 1 и 0 - символы, обозначающие логические константы "истина", «ложь»;
3)
- символы, логические операции;4) ( , ) - скобки, вспомогательные символы, служащие для указания порядка выполнения операций.
Дадим строгое определение формулы логики высказываний.
1) Всякое высказывание – это формула;
2) Символы 1, 0 – формулы;
3) Если А - формула, то
- тоже формула;4) Если А1 и А2 - формулы, то
5)
- формулы;6) Никаких других формул в логике высказываний нет.
Алгоритм формализации высказывания
1) Простые высказывания заменяем переменными;
2) Логические связки заменяем соответствующими символами;
3) Расставляем вспомогательные символы, скобки: ( , ) в соответствии со смыслом данного высказывания.
Формула алгебры высказываний принимает одно из двух значений (0 или 1) в зависимости от простых высказываний и от связи между ними.
Истинность или ложность высказывания мы будем задавать таблицей истинности.
Составление истинностных таблиц происходит по следующему правилу:
Сначала необходимо записать всевозможные наборы высказываний, при этом каждое из высказываний может войти в одном из двух состояний (0 или 1). Далее, последовательно, в соответствии с порядком выполнения логических операций, под каждой логической операцией следует записывать истинные значения. Обратите внимание, если формула содержит п высказываний, то таблица истинности будет содержать
строк.При составлении таблиц необходимо следить за тем, чтобы не перепутать порядок действий. Заполняя таблицу, следует двигаться "изнутри наружу", то есть от элементарных формул к более и более сложным. Столбец, заполняемый последним, содержит значения исходной формулы /4/.
Порядок выполнения операций определяется с помощью скобок. В отсутствии скобок первой выполняется операция отрицание, затем конъюнкция, после этого дизъюнкция, далее в порядке следования импликация, эквиваленция и т.д.
Пример 1:
| А | В | |  |  |  |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 0 |
Пример 2: Вычислить значение функции:
при 