Методика обучения решению комбинаторных задач (стр. 6 из 15)

- Тоже пустячное дело! – расхвастался кучер. – Разве нам не приходится перепрягать! Да какими угодно способами я их всех перепрягу в час, а то и меньше – одну лошадь на место другой поставил, и готово! Минутное дело!
- Нет, ты перепряги их не теми способами, которые мне угодны, - сказал пассажир, - а всеми способами, какими только можно перепрячь 5 лошадей, считая на перепряжку одну минуту, как ты хвастаешь.
Самолюбие кучера было задето.

- Конечно, всех лошадей и всеми способами я перепрягу не более как за час.

- Я дал бы 100 рублей, чтобы посмотреть, как ты сделаешь это за час! – сказал пассажир.

- А я при всей своей бедности заплачу за ваш проезд в карете, если я этого не сделаю, - ответил кучер.

Так и условились.

Итак, ребята, кучер с пассажиром задали нам задачу: «Сколькими способами можно перепрячь пять лошадей?»

Решают сами. 5 • 4 • 3 • 2 • 1 = 5! = 120 (способов), значит, за один час кучер не успеет справиться с заданием.

Определения:

В природе, да и в обыденной жизни часто приходится иметь дело с явлениями случайными, т.е. с ситуациями, исход которых нельзя точно предвидеть. Вы покупаете лотерейный билет – можете выиграть, а можете и не выиграть; на выборах может победить один кандидат, а может и другой.

Случайным называется событие, которое может произойти, а может и не произойти.

События бывают: равновозможными (равновероятными); маловероятными; более вероятными; достоверными; невозможными.

Определите вид следующих событий:

1. Выпадение «орла» или «решки» при подбрасывании монеты.

2. Зашли в темную комнату, включили свет, загорелась лампочка.

3. Если опрокинуть стакан с водой, вода выльется.

4. В жаркий летний день пошел снег.

Важно знать, можно ли найти закономерности в мире случайного? Можно ли какими-либо способами оценить шансы наступления интересующего нас случайного события? Ответ на эти вопросы дает наука, которая так и называется – теория вероятностей. Это наука о вычислении вероятностей случайных событий.

Практическая часть.

Сейчас мы с вами проведем некоторые испытания.

1-й ряд: ученики подбрасывают по 25 раз спичечный коробок (таб. 2).

2-й ряд: по 25 раз подбрасывают монету (таблица 3). 3-й ряд: по 25 раз – игральный кубик (таблица 4).

Дается формула для подсчета частоты

Частота =Число появления событий/Число экспериментов

Подсчитываем частоту наступления вышеперечисленных событий. На доске заполняется таблица 5.

По частоте события определяют вероятность случайного события. Чем больше испытаний, тем точнее определяется вероятность.

Вероятность события обозначается большой латинской буквой P (от французского probabilite, что в переводе – возможность, вероятность).

Например, P(A) =0,5(вероятность выпадения «орла»).

В XVII в. Эксперименты с монетой проводил француз Жорж Луи де Бюффон, у которого «орел» выпал 2048 раз при 4040 испытаниях.

2048/4040=0,51

В начале XX в. Английский математик Карл Пирсон провел 24000 экспериментов. «Орел» выпал 12012 раз. 12012/24000 0,50 P(A)= 50%.

Прикладное значение.

Вероятностные оценки широко используются в физике, биологии, социологии, в экономике и политике, в спорте и повседневной жизни человека. Если в прогнозе погоды сообщают, что завтра будет дождь с вероятностью 70%, то это значит, что не обязательно будет дождь, но шансы велики и стоит взять зонтик, выходя из дома. Умение оценивать вероятность наступления событий очень полезно, например, при решении вопроса, стоит ли участвовать в лотерее или вступать в игру.

Мини-сценка.

Руслан предлагает сыграть Саше с ним в игру. Каждый по очереди бросает кубик, на противоположных гранях которого написаны числа 1, 2, 3. Если выпадает нечетное число, то 1 очко получает Руслан; если четное – очко Саше. Выигрывает тот, кто первый наберет 30 очков. Бросают несколько раз.

Саша: Эта игра несправедливая, потому что на 4 гранях написаны нечетные числа, а на 2 – четные.

Частота = 4/6 = 2/3; частота =2/6 = 1/3.

- Руслан, у тебя больше шансов, т.к. вероятность больше.

Рассмотрим другой пример из жизни.

У киоска встречаются Оля и Андрей. Ольга выбирает, какую из 3 видов лотереи купить: «Спортлото», «Поле чудес», «Русское лото».
Андрей: Что хочешь купить? Книгу какую-нибудь с задачами?
Оля: Нет, родители разрешили что-нибудь купить. Вот выбираю, билет какой лотереи купить. Возьму «Спортлото».

Андрей: Математик, прежде чем купить билеты той или другой лотереи, подсчитает шансы получить выигрыш. Смотри: 49•48•46•47•45•44=10.068.347.520, т.к. порядок нам не важен, то разделим на 6∙120=720 и получим 13.983.816 способов зачеркивания. Это твой шанс.

Оля: Ладно, билеты этой лотереи брать не буду, возьму «Поле чудес». Якубович обещает полный ящик денег, если угадаешь победителя в каждой тройке игроков в играх месяца. Это просто.

Андрей: А ты подсчитай, что в течение месяца проходит 4 передачи, в каждой передаче 3 тройки, да еще 4-я из победителей первых 3. Таким образом, надо угадать победителя в 16 тройках. В каждой тройке, естественно, 3 варианта выбрать победителя, а всего 316 вариантов, а это 43.046.721 вариант. Шанс еще меньше.

Оля: Ну а «Русское лото?» Самая популярная лотерея в стране.

Андрей: Да, это надо, чтобы ты закрыла 30 номеров из 90 возможных. Это 19-значное число. За счет того, что в этой игре несколько кругов, то шансы увеличиваются до 56 млн.

Оля: Да, Андрей, и как я до этого раньше не додумалась? Скажи, а как ты так быстро считаешь шансы?

Андрей: Недавно прочитал учебник по теории вероятностей, вот и научился.

Оля: Вот и я такой куплю. Спасибо за совет.

Подведение итогов.

Итак, ребята, сегодня вы познакомились с элементами комбинаторики и теории вероятностей. Вероятность – это ожидаемая частота того, что какое-то событие произойдет.

Определите, глядя на таблицу 1 к какому виду можно отнести каждое из следующих событий:

а) выигрыш 3 млн. в лотерее;

б) камень, брошенный в воду, поплыл по реке;

в) выходишь на улицу, а навстречу идет слон;

г) летом у школьников будут каникулы;

д) на этой неделе выпадет снег.

Домашнее задание.

1. Возьмите две пуговицы – «с ножкой» и без нее. Оцените вероятность выпадения на каждую из сторон пуговиц, проведя 100 экспериментов с каждой пуговицей.

2. На 100 батареек попадают 3 бракованные. Какова вероятность купить бракованную батарейку?

Класс: 5 класс

Тема: «Элементы комбинаторики».

Цель: Сообщение новых знаний, формирование умения решать простейшие комбинаторные задачи.

Оборудование: цветные треугольники и бумаги (синий, красный, зеленый, желтый).

Ход занятия.

Сообщение темы занятия и цели.

Ребята, сегодня мы с вами познакомимся с некоторыми комбинаторными задачами. К таким задачам относятся задачи на перебор всех возможных вариантов или подсчет таких вариантов. Например:

Задача 1. Запишите все трехзначные числа цифрами 1, 2 и 3 без повторения. Сколько таких чисел?

Решение: Запишем числа в порядке возрастания: 123, 132, 213, 231,312, 321. здесь выписаны все числа, удовлетворяющие условию задачи, без пропусков и повторений. На первое место можно поставить любую из трех цифр, на второе место можно поставить только одну из двух оставшихся, т.е. имеется 3·2=6 возможностей занять два первых места. В каждом из этих шести случаев третье место займет оставшаяся цифра. Всего таким образом можно составить только 6 трехзначных чисел (рисунок 1.)

Задача 2. Сколько двузначных чисел можно записать, используя цифры 1, 2 и 3?

Решение: в отличие от задачи 1 здесь можно повторять цифры. Чтобы ответить на вопрос задачи, можно выписать все числа без пропусков и повторений:

11 21 31

12 22 32

13 23 33

На первом месте может стоять одна из трех цифр: 1, 2 или 3. в каждом из этих трех случаев на второе место можно поставить одну из трех цифр 1, 2 или 3. Итого, имеется 3·3=9 двузначных чисел, записанных цифрами 1, 2 и 3.

Практическая часть.

Раздаются цветные треугольники из бумаги: синий, желтый, зеленый, красный.

- Ребята, а теперь давайте посмотрим какие и сколько можно составить елочек из предложенных треугольников, не повторяя цвета?

Ответ: 24 елочки.

Учащиеся раскладывают на партах елочки. Результаты оформляются на доске и в тетрадях (рис. 2).

- Ребята, а теперь давайте решим задачу. Коля написал два раза свое имя

К О Л Я

К О Л Я

Его сосед по парте заметил, что Коля может прочитать свое имя более 10 раз, и показал один из способов.

К–О Л Я

К О Л–Я

Сколькими способами Коля может прочитать свое имя?

Решение: К каждой букве О можно прийти двумя способами, к каждой букве Л – четырьмя способами, к каждой букве Я – восемью, а всего прочитать слово можно шестнадцатью способами.

К О2 Л4 Я8

К О2 Л4 Я8

Задача. Бросили два игральных кубика. На первом выпало 2 очка, на втором 6 очков. Сколькими различными способами может выпасть 8 очков на этих кубиках?

Решение: Рассмотрим варианты, когда может выпасть 8 очков: 2×6, 3×5, 4×4, 5×3, 6×2. Мы видим, что 8 очков может выпасть пятью способами.

Задача. Восемь друзей решили провести турнир по шашкам так, чтобы каждый сыграл с каждым одну партию. Сколько партий будет сыграно?

Решение: Каждый игрок должен сыграть по 7 партий. Рассмотрим случаи, когда игроки не повторяются. Первый должен сыграть 7 партий (со 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 игроками), второй – 6 партий (с 3, 4, 5, 6, 7, 8 игроками), третий – 5 партий (с 4, 5, 6, 7, 8 игроками), четвертый – 4 партии (с 5, 6, 7, 8 игроками), пятый – 3 партии (с 6, 7, 8 игроками), шестой – 2 партии (с 7, 8 игроками), седьмой – 1 партия (с 8-м игроком). Отсюда, количество партий: 7+6+5+4+3+2+1=28.

- Ребята, сегодня мы с вами изучили некоторые элементы комбинаторики, решили задачи на перебор всех возможных вариантов.

Домашнее задание:

1. Запишите все трехзначные числа, используя цифры 0, 3, 5, 9 с повторением, без повторений.