Но как вы уже знаете, ответ на поставленный в вопрос можно получить, не выписывая сами числа и не строя дерево возможных вариантов. Рассуждать будем так. Первую цифру трехзначного числа можно выбрать четырьмя способами. Так после выбора первой цифры останутся три, то вторую цифру можно выбрать из оставшихся цифр уже тремя способами. Наконец, третью цифру можно выбрать (из оставшихся двух) двумя способами. Следовательно, общее число искомых трехзначных чисел равно произведению 4·3·2 = 24.
Ответ на поставленный в примере вопрос мы нашли, используя так называемое комбинаторное правило умножения (записывается в тетрадь).
Пусть имеется n элементов и требуется выбрать один за другим некоторые k элементов. Если первый элемент можно выбрать n1 способами, после чего второй элемент можно выбрать из оставшихся n2 способами, затем третий элемент – n3 способами и т.д., то число способов, которыми могут быть выбраны все k элементов, равно произведению n1·n2·n3·…·nk.
4. Практический этап
1. В кафе предлагают два первых блюда: борщ, рассольник – и четыре вторых блюда: гуляш, котлеты, сосиски, пельмени. Укажите все обеды из двух блюд, которые может заказать посетитель. Проиллюстрируйте ответ, построив дерево возможных вариантов.
Решение:
| Борщ | Рассольник | |||||||
| гуляш | котлеты | сосиски | пельмени | гуляш | котлеты | сосиски | пельмени | |
На первое место можно выбрать одно из двух блюд, на второе – одно из четырех блюд. Значит количество обедов из двух блюд: 2·4=8.
Ответ: 8 обедов.
2. Стадион имеет 4 входа: А, В, С и Д. укажите все возможные способы, какими посетитель может войти через один вход и выйти через другой. Сколько таких способов?
Решение: Посетитель может войти через один из четырех входа, а выйти через один из трех оставшихся, т.е. имеется 4·3=12 способов.
Ответ: 12 способов.
3. Из села Дятлово в село Матвеевское ведут три дороги, а из села Матвеевское в село Першино – четыре дороги. Сколькими способами можно попасть из Датлова в Першино через Матвеевское?
Решение: В село Матвеевское из Дятлова можно попасть тремя способами. А из Матвеевского в Першино – 4 способами. Значит, 3·4=12 способов.
Ответ: 12 способов.
4. Петр решил пойти на новогодний карнавал в костюме мушкетера. В ателье проката ему предложили на выбор различные по фасону и цвету предметы: пять пар брюк, шесть камзолов, три шляпы, две пары сапог. Сколько различных карнавальных костюмов можно составить из этих предметов?
Решение: Брюки можно выбрать пятью способами, камзолы – шестью, шляпы – тремя, сапоги – двумя. Значит, костюм можно составить 5·6·3·2=180 способами.
Ответ: 180 способов.
5. Введение новых знаний
Пример. Пусть имеются три книги. Обозначим их буквами a, b, c. Эти книги можно расставить на полке по-разному: abc, acb, bac, bca, cab, cba.
Каждое из этих расположений называют перестановкой из трех элементов.
Перестановкой из n элементов называется каждое расположение этих элементов в определенном порядке.
Число перестановок из n элементов обозначается символом Pn (читается «Р из n»).
Мы установили, что Р3 = 6. Для того, чтобы найти число перестановок из трех элементов, можно не выписывать эти перестановки, а воспользоваться правилом умножения. Будем рассуждать так. На первое место можно поставить любой из трех элементов. Для каждого выбора первого элемента есть две возможности выбора второго из оставшихся двух элементов. Наконец, для каждого выбора первых двух элементов остается единственная возможность выбора третьего элемента. Значит, число перестановок из трех элементов равно 3·2·1, т.е. 6.
Выведем теперь формулу для числа перестановок из п элементов.
Пусть мы имеем n элементов. На первое место можно поставить любой из них. Для каждого выбора первого элемента на второе место можно поставить один из оставшихся n-1 элементов. Для каждого выбора первых двух элементов на третье место можно поставить один из оставшихся n-2 элементов и т.д. в результате получим, что
Pn = n(n-1)(n-2) ·…·3·2·1.
Расположив множители в порядке возрастания, получим
Pn = 1·2·3·…·(n-2)(n-1)n.
Для произведения первых n натуральных чисел используется специальное обозначение: n! (читается «n факториал»).
Таким образом, число всевозможных перестановок из n элементов вычисляется по формуле Pn = n!
Например, 2!=1·2=2; 5!=1·2·3·4·5=120.
По определению считают, что 1!=1.
6. Практический этап
- Ребята, давайте вспомним басню И.А.Крылова «Квартет»:
Проказница мартышка,
Осел,
Козел,
Да косолапый мишка
Затеяли сыграть Квартет.
Достали нот, баса, альта, две скрипки
И сели на лужок под липки –
Пленять своим искусством свет.
Ударили в смычки, дерут, а толку нет.
«Стой, братцы, стой!» - кричит мартышка. – «Погодите!
Как музыке идти? Ведь вы не так сидите.
Ты с басом Мишенька садись против альта,
Я, прима, сяду против вторы;
Тогда пойдет уж музыка не та:
У нас запляшут лес и горы!»
Расселись, начали Квартет,
Он все-таки на лад нейдет.
«Постойте ж, я сыскал секрет! –
Кричит Осел, - мы верно уж поладим,
Коль рядом сядем.»
Послушались осла, уселись чинно в ряд;
А все-таки Квартет нейдет на лад.
Вот пуще прежнего пошли у них разборы
И споры,
Кому и как сидеть.
Случилось Соловью на шум их прилететь.
Тут с просьбой все к нему, чтоб их решить сомненье.
«Пожалуй, - говорят, - возьми на час терпенье,
Чтобы Квартет в порядок наш привесть:
И ноты есть у нас, и инструменты есть,
Скажи, лишь как нам сесть!» -
«Чтоб музыкантом быть, так надобно уменье
И уши ваших понежней, -
Им отвечает Соловей, -
А вы, друзья, как ни садитесь, все в музыканты не годитесь».
Сколько способами могут рассесться участники Квартета?
Решение: Квартет состоит из четырех участников. Число способов равно числу перестановок из 4 элементов. Р4=1∙2∙3∙4=24. Значит, существует 24 способа.
Ответ: 24 способа.
5. Сколькими способами могут быть расставлены 8 участниц финального забега на восьми беговых дорожках?
Решение: Число способов равно числу перестановок из 8 элементов.
Р8=1∙2∙3∙4∙5∙6∙7∙8=40320. Значит, существует 40320 способов расстановки участниц забега на восьми беговых дорожках.
Ответ: 40320 способов.
6. Сколько различных четырехзначных чисел, в которых цифры не повторяются, можно составить из цифр 0, 2, 4, 6?
Решение: Из цифр 0, 2, 4, 6 можно получить Р4 перестановок. Из этого числа надо исключить те перестановки, которые начинаются с 0, т.к. натуральное число не может начинаться с цифры 0. число таких перестановок равно Р3. значит, искомое число четырехзначных чисел, которые можно составить из цифр 0, 2, 4, 6 равно Р4 – Р3= 4!–3!=1∙2∙3∙4 – 1∙2∙3= 24 – 6=18.