Теории управления (стр. 10 из 22)

независимы, тогда многомерная ФПВ факторизуется следую-

щим образом:

- факторизация.

Однако при такой факторизации может потеряться информа-

ция о случайном процессе. Есть потеря информации для

произвольных отсчетов (кореллированность процесса).

Существует 2й способ аппроксимации - марковский способ

аппроксимации. Для марковских процессов многомерная ФПВ

факторизуется так :

(2)

, где

- ус-

ловная плотность вероятности.

Факторизация (2) позволяет сильно упростить математичес-

кие выкладки в задачах фильтрации и управления.

Определение : Процесс называется марковским, если выпол-

няется условие (2)

Оказывается, существует очень много генераторов марковс-

ких процессов. Мы переходим к их рассмотрению.

Процессы авторегрессии

Процесс авторегрессии - простой генератор марковского

процесса.

1. Односвязная регрессия

(3)

- задано.

- от генератора белого шума

- корреляция.

Если а<1, то

®0 имеем

устойчивый процесс.

a<1

Если а>1 - неустой-

чивый процесс 1 2 3 4 n

®¥ (P=1)

x(t) ¬a=0.9

a³1

¬a=0.3

1 2 3 4 5 n t

а=1 - модель взрыва. Если

- гауссовский случайный про-

цесс, то легко доказать, что многомерная ФПВ факторизует-

ся.

а - коэффициент регрессии.

Если 0<a<1, то можно доказать, что а - это коэффициент

корреляций между

Если процесс изменяется очень медленно, то он сильно кор-

релирован. Коррелированными процессами очень легко управ-

лять и они очень легко анализируются и прогнозируются.

Генератор марковского процесса, реализующий авторегрессию

1-го порядка

(1)

Генератор

- марковский случайный процесс

- генератор случайных чисел (в ЭВМ)

i=0,1,2...n

Утверждение (1) : процесс (1) является марковским.

Доказательство: Пусть

заданная величина. Процедура (1) называется реккурсивной или иттеративной, рекурент-

ной.

(2)

Пусть

, где 0-среднее,

- дисперсия.

В формуле (2) разность имеет гауссовкий процесс распре-

деления

или :

(3)

(4)

(3) получено из (4) и (2) заменив

на

. Поскольку

- независимые по условию, то имеем :

Утверждение доказано. Процесс (1) является марковским.

Структурная схема генератора марковского процесса