Теории управления (стр. 16 из 22)

лишь приближенные решения, когда функции f(x) и j(x) -

- линеаризуются.

Тейлоровская линеаризация - используется ряд Тейлора,

линейная часть (1-я, 2-го

члена). ( j(x)и f(x) - имеют непрерывные первые про-

изводные).

Разложение в ряд Тейлора в точке

где

- оценка, которую мы еще не знаем, но собираем-

ся находить.

Эти линеаризованные функции подставим в (1) и получим

линейную систему :

(2)

Коэффициенты a,b,c,d находятся после подстановки.

имеют произвольное распределение.

Будем использовать метод наименьших квадратов для на-

хождения оценок

;

Выпишем эмпирический риск :

r - функционал.

После линеаризации :

производная из r берется легко

Продифференцировав и воспользовавшись методом индукции

получаем :

(3)

;

- задано

Выводы :

1. В связи с тем, что начальная точка разложения

в ряд Тейлора функции j(x) была выбрана в точ-

ке

, то несмотря на линеаризацию, урав-

нение (3) получилось как нелинейное и оно по-

хоже на уравнение (1) модели.

2. В отличие от фильтра Калмана, в

, при рек-

курентном его вычислении входит

- оценка

‘x’ на первом шаге. Коэффициент усиления можно

вычислить заранее за ‘n’ шагов (в фильтре Кал-

мана). Но здесь этого сделать нельзя. Сущест-

вует так называемая обратная связь.

Пример нелинейной фильтрации :

;

T - период колебания

t - период дискретизации

t - текущее время

- фаза гармонического колебания с амплитудой равной 1

процесс наблюдается на фоне шума

- дискретная частота;

(4)

Отношение сигнал/шум может быть меньше 1. Требуется получить оценку фазы, такую, чтобы разница в квадрате

была минимальной.

. Из (3) получаем :

(5)

Перемножим и пренебрежем 2й гармоникой :

(6)

- ФАПЧ

(5) - ФНЧ, фильтрует 2-ю гармонику полностью(раз-

ностное уравнение)

Структурная схема ФАП

- на вход

вх

синтезаторt

опоры

На вход поступает аддитивная смесь.

Принцип работы ФАП

Измеритель фазы является следящей системой с отрицатель-

ной обратной связью. Опорное колебание

с фа-

зой

- экстраполированная фаза.

. Чем точнее