Автоматизация производственных процессов (стр. 3 из 9)

Градиентный метод оптимизации и его обобщения используют свойство градиента быть направленным в сторону максимального возрастания функции качества. Поэтому если нет ограничений, то алгоритм сводится к генерированию новой точки исходя из предыдущей с помощью следующего соотношения:

,

где

- шаг перемещения из в .

Как видно, перемещение осуществляется из

в в сторону противоположную направлению градиента. Более сложным обобщением градиентного метода является алгоритм переменной метрики. Однако он требует вычислений разностей градиентов в последовательных точках, т. е. учитывает приращения второго порядка. Аналогичные добавки получаются и в методе сопряженных направлений.

Величина шага

подбирается из условия, чтобы функция имела в следующей точке первый локальный минимум по . При наличии ограничений существует несколько вариантов применения метода градиента: штрафных функций, проекции градиента.

Наиболее наглядным является метод перемещения к седловой точке для функции Лагранжа из некоторой начальной точки (

, ).

При переходе к подсистемам более высокого иерархического уровня возможности точного математического моделирования уменьшаются или же точные ММ становятся настолько сложными, что вышеуказанные методы применить нельзя. В настоящее время в связи с широким внедрением средств вычислительной техники получили распространение численные методы оптимизации: метод наискорейшего спуска, метод Ньютона, метод покоординатного спуска, симплекс-метод и др.

Особого упоминания заслуживает метод линейного программирования, поскольку широко используется аппроксимация линейными функциями различных аналитических и экспериментальных зависимостей. Этот метод следует рассматривать не только как метод исследования операций. Существуют его модификации, позволяющие решать задачи параметрического синтеза. Поскольку моделями функционирования большинства ТС являются динамические модели, в которых ТП представляется как некоторый многоэтапный процесс, то наиболее адекватной стратегией их оптимизации является стратегия динамического программирования. Успех применения того или иного метода оптимизации во многом зависит от выбора критерия качества, т. е. аналитической зависимости показателя качества от параметров

, по которым оптимизация производится.

Широко используются некоторые унифицированные аналитические зависимости для представления критериев качества, инвариантные относительно метода оптимизации, а между тем выбор подходящей аналитической зависимости для критерия качества позволяет повысить эффективность применяемого метода. Так, при использовании метода Ньютона неравноценны даже эквивалентные с точки зрения описания качества системы функции

и , аналитическая запись которых отличается лишь знаком корня. В частности, для

во втором случае точное решение получается за одну итерацию из любой начальной точки, а в первом случае число итераций зависит от положения начальной точки и может быть значительным.

Исходя из общих особенностей ТС можно дать некоторую схему применения методов оптимизации и используемых при этом критериев. Любая ТС предполагает пространственно-временную организацию перемещения исходных ресурсов (материалов, комплектующих), промежуточных продуктов и законченного изделия. Весьма широкий круг задач подобного рода допускает формулировку в виде задачи линейного программирования. В качестве критериев в данном случае выступают общие затраты на транспортирование, временные затраты, затраты на реконструкцию существующих систем и т. д. Ограничения обычно носят характер неравенств, отражающих возможности средств транспортирования, производительности оборудования, ресурсы поставляемых материалов и комплектующих. Возможности оптимизации систем в целом с помощью метода линейного программирования позволяют на самом раннем этапе ее проектирования просмотреть множество различных ее вариантов и получить весьма полезную дополнительную информацию для ее структурного синтеза. Здесь возможно получение информации об оптимальном размещении системы и рациональном выборе поставщиков и т. д. Следует отметить, что применение линейного программирования не ограничивается оптимизацией ТС, так сказать, в микромасштабе. Имеются весьма важные области применения линейного программирования и для оптимизации ТП. Так, в современной технологии РЭА важную роль играет получение веществ с высокой гомогенностью состава. Задача синтеза таких веществ из исходного сырья, содержащего несколько компонентов, может быть сформулирована как некоторая задача равномерного приближения и решена с помощью метода линейного программирования. Как задача равномерного приближения формулируется также задача построения кинематических узлов с заданными свойствами.

Проектирование элементов ТС предполагает использование преимущественно нелинейных ММ и соответственно методов нелинейного программирования. В качестве обобщенного критерия здесь выступает производительность, надежность при ограничениях на затраты энергии, материалов, комплектующих. Среди указанных методов в настоящее время широкое распространение получил метод геометрического программирования.

Уникальным свойством геометрического программирования является то, что оптимальное значение критерия вычисляется до получения координат оптимальной точки. Это позволяет построить весьма экономичные вычислительные алгоритмы при сравнении различных параметров ТС и облегчить структурный синтез. После проектирования элементов ТС осуществляется возврат к оптимизации системы в целом, но уже преследующий совершенно иные цели, чем при использовании метода линейного программирования. Наиболее важным становится оптимальное распределение функций между отдельными элементами ТС. Математическая модель системы на этом этапе уже известна в наиболее законченном виде. Однако ввиду ее сложности оптимизация на этом этапе встречает трудности вычислительного характера из-за большой размерности задачи. Наиболее важным методом оптимизации на этом этапе является метод динамического программирования.

Использование метода динамического программирования для указанных систем возможно в случае, если критерий качества является аддитивной функцией управляющих переменных, каждая из которых регулирует процесс на определенном этапе. Оптимальное значение управляющей переменной определяется состоянием системы в начале этого этапа и конечной целью управления и не зависит от эволюции системы на предыдущих этапах. Последнее условие соответствует принципу оптимальности Беллмана и является условием применимости динамического программирования. Динамическое программирование не является методом в строгом смысле, а является некоторой общей стратегией, заключающейся в том, что исходная задача становится задачей многоэтапной оптимизации, каждый этап которой, начиная с конечного, использует информацию об оптимальном решении на предыдущем этапе. Эта информация в наиболее явном виде может быть представлена в виде функционального уравнения, связывающего значение критерия качества на оптимизируемом этапе с оптимальным значением критерия качества на предыдущем этапе. Управляющие переменные могут быть векторными величинами.

Другой трудностью использования динамического программирования является то, что функция качества не является выпуклой функцией и поэтому достигаемый этим методом экстремум не является глобальным. Однако примеры решения задач методом динамического программирования показывают, что полученные решения имеют достаточно хорошее качество.

В ряду методов оптимизации ТС заслуживают упоминания метод наискорейшего спуска и метод покоординатного спуска. Особую эффективность эти методы имеют в случае имитационного моделирования ТС, применяемого в том случае, если производные критерия качества по управляющим переменным не могут быть выражены из-за сложности ММ в явном виде через управляющие переменные. Направление наискорейшего спуска оценивается по отклику критерия качества на изменения управляющих переменных. Оба указанных метода являются в настоящее время наиболее универсальными численными методами оптимизации и могут быть реализованы в виде конкретных алгоритмов, позволяющих получить локальные, а в случае выпуклости функции качества и глобальные экстремумы.