Деформация сдвига. Геометрические характеристики плоских сечений. Кручение стержней с круглым поперечным сечением (стр. 2 из 3)

, (11)

. (12)

Так как ρ² = z² + y², сравнив выражения (11), (12) и (13), получим

I_ρ = I_z + I_y, (13)

т.е. сумма осевых моментов инерции сечения относительно двух взаимно перпендикулярных осей равна полярному моменту инерции этого сечения относительно точки пересечения рассматриваемых осей. Моменты инерции сечений – всегда положительные величины.

Моменты инерции прямоугольника, круга

Моменты инерции сечений вычисляются в следующей последовательности. Вначале находят момент инерции элементарной площадки dA относительно точки или оси. Считая, что число таких площадок стремится к бесконечности, далее вычисляют сумму моментов инерции площадок по всему сечению. Чаще всего детали типа стержней имеют форму поперечного сечения в виде круга или прямоугольника.

Вычислим момент инерции прямоугольника (рис. 4, а) с основанием b и высотой h относительно оси z, проходящей через центр масс параллельно основанию. За элементарную площадку dA примем площадь бесконечно тонкого слоя dA = bdy. Тогда

. (15)

Аналогично получим

I_y = hb³/12. (16)

Рассмотрим круг (рис. 5.16, б). Сначала определим полярный момент инерции круга относительно геометрического центра С:

За элементарную площадку dA примем площадь бесконечно тонкого кольца толщиной dρ: dA = 2πρdρ. Тогда

. (17)

Найдем моменты инерции круга относительно координатных осей y, z, проходящих через центр масс С. Так как оси являются диаметром круга, то I_y = I_z. Поэтому выражение (5.38) можно представить как I_ρ =2 I_y = 2 I_z, откуда

I_y = I_z = I_ρ/2 ≈ 0,05 d⁴. (18)

Для кольца моменты инерции равны разности моментов инерции внешнего и внутреннего кругов с диаметрами соответственно d и d₁.

Тогда

I_ρ ≈ 0,1 (d⁴ – d₁⁴), (19)

I_y ≈ I_z ≈ 0,05 (d⁴ – d₁⁴). (20)

КРУЧЕНИЕ СТЕРЖНЕЙ С КРУГЛЫМ ПОПЕРЕЧНЫМ СЕЧЕНИЕМ

Понятие о крутящем моменте

Деформация кручения происходит при действии на стержень внешних пар сил, плоскости действия которых перпендикулярны оси стержня. При этом в поперечных сечениях стержня возникает только одна составляющая внутренних сил – крутящий момент Т. С явлением кручения встречаются при расчете валов, винтовых пружин и других элементов конструкций.

Если прямые незакрепленные стержни, подвергающиеся деформации кручения, равномерно вращаются или находятся в покое, алгебраическая сумма всех внешних скручивающих (вращающих) моментовТ_е равна нулю.

Вращающиеся и испытывающие деформацию кручения стержни называют валами. При расчете валов величины скручивающих моментов можно определить по передаваемой мощности и скорости вращения вала из выражения

T_e = P/ω = 30P/πn = 9,55 P/n |Нм|, (21)

где Р – мощность, передаваемая валом, Вт; n – угловая скорость вала в оборотах за минуту; ω – угловая скорость в рад/с.

На основании метода сечений крутящий момент Т в произвольном поперечном сечении стержня численно равен алгебраической сумме внешних Т_е скручивающих моментов, действующих на стержень по одну сторону от рассматриваемого сечения. Когда к валу приложено несколько внешних Т_е скручивающих моментов, крутящие моменты в сечениях различных участков будут разными. Для наглядности распределения Т по длине скручиваемого стержня и для нахождения опасного сечения с наибольшим крутящим моментом Т_max строят эпюры (графики) крутящих моментов.

При построении эпюры Т проводят ось, параллельную оси стержня. Каждая ордината эпюры в принятом масштабе равна величине крутящего момента, действующего в том сечении, которому соответствует ордината. При расчетах на прочность и жесткость знак T не играет никакой роли, но для удобства построения эпюр будем считать крутящий момент Т положительным, если при взгляде в торец отсеченной части стержня этот момент представляется направленным против хода часовой стрелки. Положительные по знаку крутящие моменты откладывают на эпюре выше оси, отрицательные – ниже.

На рис. 5, б представлена эпюра крутящих моментов Т для схемы нагружения вала тремя внешними моментами Т_е (рис. 5, а). Отметим, что в сечениях, где приложен внешний скручивающий момент Т_е, ордината эпюры Т меняется скачком на величину, равную значению этого момента. Как видно из рис. 5, б, максимальный крутящий момент (T_max = 10 Нм) не всегда равен наибольшему моменту внешних сил (T_e_max = 15 Нм).

Определение напряжений при кручении стержней с круглым поперечным сечением

Рассмотрим стержень с круглым поперечным сечением (рис. 6, а), один конец которого закреплен, а другой нагружен парой сил с моментом Т_е. В результате действия момента внешних сил Т_е возникает деформация кручения. Наблюдая при кручении характер искажения прямоугольников координатной сетки, нанесенной на боковой поверхности круглого стержня, обнаружили: прямоугольная сетка превратится в сетку, состоящую из параллелограммов, что свидетельствует о наличии касательных напряжений в поперечных, а с учетом закона парности касательных напряжений и в продольных сечениях; контуры поперечных сечений в процессе деформации остаются плоскими, расстояния между ними не изменяются, а первоначальные прямолинейные образующие, нанесенные на боковую поверхность, превращаются в винтовые линии; диаметры торцового сечения повернутся на некоторый угол φ относительно своего начального положения, оставаясь прямой линией. Эти наблюдения позволили составить представление о механизме деформации кручения. Постоянство длины и диаметра деформируемого стержня свидетельствует об отсутствии нормальных напряжений в поперечных и продольных сечениях. Так как в поперечных и в продольных сечениях действуют только касательные напряжения, напряженное состояние в точках скручиваемого стержня представляет собой чистый сдвиг. Поперечные сечения, оставаясь плоскими, поворачиваются вокруг оси стержня относительно друг друга на некоторый угол, сохраняя длину и прямолинейность своих радиусов.

Выделим двумя поперечными сечениями элемент (рис. 6. б) скручиваемого стержня длиной dx. В результате деформации одно сечение повернется относительно другого на угол dφ. Будем считать левое сечение элемента dx неподвижно закрепленным. Тогда dφ – угол поворота правого торцового сечения вокруг продольной оси. Образующую АВОО₁ можно представить как параллелепипед длиной dx с бесконечно малыми основаниями АО₁ и ВО. В результате деформации этот параллелепипед займет положение АВ'ОО₁. Величина ВВ' = γdx = ρdφ представляет собой абсолютный сдвиг грани В на поверхности стержня относительно грани А в направлении, перпендикулярном радиусу стержня. Величина абсолютного сдвига точек основания ОВ параллелепипеда зависит от их расстояния ρ до оси стержня. Сдвиг равен нулю на оси стержня и максимален, т.е. равен ВВ' на поверхности. Угол сдвига соответственно будет равен

где dφ/dx – относительный угол закручивания. На основании закона Гука для сдвига можно записать

где G – модуль упругости материала стержня при сдвиге.