Диагностирование характеристик вала с дисками по собственным частотам его крутильных колебаний (стр. 4 из 7)
В этих уравнениях по-прежнему М амплитуда колебания, и р частота. Находим вторую производную от
по времени: 
.Аналогично,
Подставляя значения
и 
в уравнения системы (2.12), получим систему обыкновенных уравнений со многими неизвестными для определения частоты колебания р. 
Сокращая в данных уравнениях на
получим окончательно
(2.14)Последовательно исключая неизвестные
, получим уравнение для определения частоты р. Уравнение для определения частоты собственных колебаний, полученное в результате исключения 
из уравнений (2.14), называется характеристическим. Уравнения (2.14) могут быть применены для определения числа собственных крутильных колебаний системы с произвольным числом дисков. В тех случаях, когда получившееся характеристическое уравнение имеет высокую степень относительно р2 (что бывает при системе со многими дисками), оно может быть решено графически либо каким-нибудь приближенным методом.1.3 Колебания вала с тремя дисками
Рассмотрим колебания вала с тремя дисками (рис. 3). Здесь I1 , I2 ,I3 моменты инерции дисков, k1и k2жесткости участков вала на кручении, по аналогии с формулой (1.1) равные:
и 
Рис. 3 Вал с тремя дисками
Если амплитуды колебаний дисков обозначить
то уравнения (2.14) для данного случая примут вид: 
. (2.15)Складывая эти уравнения получим
откуда
,или
.Квадрат частоты колебаний р2 нулю равен быть не может, поэтому:
. (2.16)Выразим М1 и М3 через М2 , что может быть сделано из уравнения (2.15)
Подставим полученные значения М1 и М3 в уравнение (2.16)
Сокращая на М2 и приводя к общему знаменателю получим:
или
Делаем группировку
Освобождаясь от коэффициента при р4 и делая преобразование в круглых скобках получим окончательно:
(2.17)Получили биквадратное уравнение для определения частоты. Корни этого уравнения
и 
соответствуют двум главным видам колебаний: низшему, имеющему один узел колебаний (два соседних диска вращаются в одну сторону), и высшему, имеющему два узла колебания (крайние диски вращаются в одну сторону).1.4 Колебания вала с четырьмя дисками
Рассмотрим крутильные колебания вала с четырьмя дисками. Пусть I1 , I2 ,I3,,I4— моменты инерции дисков, k1 ,k2,,k3 — жесткости участков вала на основе формулы (1.1) равные:
; 
; 
Амплитуды колебаний дисков обозначим по-прежнему: М1,М2,,М3,,М4.
Тогда уравнения (2.14) для данного случая примут вид:
(2.18)Складывая полученные уравнения найдем:
Учитывая подобные слагаемые, получим
или
Квадрат частоты - р2 нулю не равен, следовательно:
(2.19)Выразим М1,М3 и М4 через М2, что может быть сделано с помощью уравнений (2.18).
С помощью первого уравнения из (2.18) найдем:
(2.а)Из второго уравнения нижеследующими действиями найдем:
,или подставляя вместо М1 его значение из (2.а)
, 
,
, 
. (2.d)Из уравнения четвертого найдем
Подставив значение М3 из (2.d)
(2.е)Найденные значения М1, М3 и М4 подставим в уравнение (2.19)
Сокращаем полученное уравнение на М2 и приводим левую часть уравнения к общему знаменателю, который и отбрасываем. Общим знаменателем, очевидно, будет выражение:
Делаем группировку
Освобождаясь от коэффициента при р6, приведем наше уравнение к виду:
(2.20)Таким образом, были рассмотрены формулы для нахождения собственных частот колебания вала с различным количеством дисков. Определив частоты, можно рассчитать критические скорости прямых валов, а, зная эти скорости можно предупредить поступление разного рода нарушения нормального хода машины, которые обычно выражаются в появлении биений вала или вибрации всей установки в целом.
1.5 Применение метода решения прямой задачи, программная реализация решения
Рассмотрим применение метода решения прямой задачи по определению собственных частот крутильных колебаний вала с дисками на конкретных примерах.
Пример 1
Определить собственные частоты системы, состоящей из трех дисков с моментами инерции масс:
, укрепленных на стальном валу с жестокостями 
и 
.