Диагностирование характеристик вала с дисками по собственным частотам его крутильных колебаний (стр. 5 из 7)
При подстановке данных значений в уравнение (2.17) получаем биквадратное уравнение:
р4-3.5p2+2.0=0.
Корни данного уравнения, найденные в пакете Maple, имеют вид:
p1=-1.667566013, p2=1.667566013, p3=-0.8480705122, p4=0.8480705122
Но нас интересуют только положительные величины, так как частоты отрицательные значения принимать не могут.
Пример 2
Определить собственные частоты системы, состоящей из трех дисков с моментами инерции масс:
, укрепленных на стальном валу с жестокостями 
и 
.При данных значениях физических величин решение уравнения (2.17) имеет вид:
p1=-1,370821968, p2=-0,7879385321, p3=1,370821968, p4=0,7879385321
Пример 3
Определить собственные частоты системы, состоящей из четырех дисков с моментами инерции масс:
, 
укрепленных на стальном валу с жестокостями , и 
.При данных значениях физических величин решение уравнения (2.20) имеет вид:
p1=-2,417091066, p2=-1,581138830, p3=2,417091066, p4=1,581138830
Приведем программную реализацию решения прямой спектральной задачи, использующую команды математического пакета MAPLE
Решение примера 1:
> I1:=0.2;
> I2:=0.3;
> I3:=0.1;
> k1:=0.1;
> k2:=0.2;
> y:=p^4-(k1*(I1+I2)/(I1*I2)+k2*(I2+I3)/(I2*I3))*p^2+((I1+I2+I3)/(I1*I2*I3))*k1*k2=0;
Подставим данные значения в уравнение (2.17)
> y:=p^4-(k1*(I1+I2)/(I1*I2)+k2*(I2+I3)/(I2*I3))*p^2+((I1+I2+I3)/(I1*I2*I3))*k1*k2=0;
> solve(y,p);
Решение примера 3:
> restart;
> i1:=0.2;
> i3:=0.3;
> i2:=0.1;
> i4:=0.2;
> k1:=0.1;
> k2:=0.2;
> k3:=0.3;
Подставим данные значения в уравнение (2.20)
> y:=p^6-(k1*(i1+i2)/(i1*i2)+k2*(i2+i3)/(i2*i3)+k3*(i3+i4)/(i3*i4))*p^4+(k1*k2*(i1+i2+i3)/(i1*i2*i3)+k2*k3*(i2+i3+i4)/(i2*i3*i4)+k1*k3*(i1+i3+i4)/(i1*i3*i4))*p^2+k1*k2*k3(i1+i2+i3+i4)/(i1*i2*i3*i4)=0;
> fsolve(y,p);
2. Диагностирование характеристик вала с дисками по спектру частот колебаний
2.1 Постановка обратной спектральной задач
Поставим теперь к задаче определения частот крутильных колебаний вала с дисками обратную спектральную задачу.
Поскольку изменения величин моментов инерции масс дисков и коэффициентов жесткости участков вала на кручении могут характеризовать степень изношенности дисков, налипание к валу инородных предметов и так далее, то обратная задача состоит в диагностировании характеристик вала с дисками по собственным частотам колебаний вала. Известно, что изменения указанных значений характеристик вала проявляются в изменениях значений собственных частот его колебаний, что в свою очередь может привести к ненужным вибрациям, увеличению шума и т. п.
Поэтому возникает также задача сохранения заданного (безопасного) диапазона частот крутильных колебаний вала. Подобную проблему мы предлагаем решить также при рассмотрении обратной задачи.
Итак, известны собственные частоты р крутильных колебаний вала с дисками. Необходимо определить характеристики вала с дисками по спектру частот его колебаний. К диагностируемым характеристикам мы отнесем моменты инерции масс дисков и коэффициенты жесткости участков вала на кручении.
Остановимся на диагностировании этих характеристик подробнее.
2.2 Диагностирование коэффициентов жесткостей участков вала между дисками
При исследовании задачи о колебаниях вала с тремя дисками получено следующее частотное уравнение (2.17):
Здесь, по-прежнему, k1, k2. – коэффициенты жесткостей участков вала между дисками, р. – собственная частота крутильных колебаний вала, I1, I2, I3.. – моменты инерции масс трех дисков соответственно.
Обратная задача: Известны собственные частоты колебаний вала, моменты инерции дисков. Неизвестны коэффициенты жесткости участков вала между дисками.
Преобразуем уравнение (2.17) к виду
.Если рассмотреть две собственные частоты р1 и р2, то последние уравнения представляют собой систему алгебраических уравнений с двумя неизвестными k1, k2 .
(3.1)Вычитая из первого уравнения системы (3.1) второе, получим
.Разделим обе части последнего равенства на
: 
Выразим
: 
,(3.2)и подставим его в первое уравнение системы (3.1):
Преобразуем последнее равенство к виду:
Решая последнее уравнение относительно
, получим 
, (3.3)где
Таким образом, формулы (3.2) и (3.3) однозначно определяют коэффициенты жесткости участков вала на кручении для вала с тремя дисками.
Поставим теперь подобную обратную задачу для вала с четырьмя дисками, частотное уравнение для крутильных колебаний которого имеет вид (2.20):
Здесь, снова, k1, k2.k3 – коэффициенты жесткостей участков вала между дисками, р. – собственная частота крутильных колебаний вала, I1, I2, I3, I4. – моменты инерции масс четырех дисков.
Обратная задача: Известны собственные частоты колебаний вала, моменты инерции дисков. Неизвестны коэффициенты жесткости участков вала между дисками.
Рассмотрим снова две собственные частоты р1 и р2 крутильных колебаний вала, тогда уравнения (2.20) представляют собой систему алгебраических уравнений с двумя неизвестными k1, k2 при известном коэффициенте k3. Вычисления, проведенные в пакете MAPLE, показывают, что из системы (3.4) можно однозначно определить коэффициентыжесткости двух любых участков вала между дисками при известном коэффициенте жесткости одного из трех участков. Причем все эти коэффициенты упругих закреплений определяются по двум собственным частотам крутильных колебаний вала.
2.3 Диагностирование моментов инерции масс дисков
Рассмотрим снова частотное уравнение (2.17), полученное для вычисления частот крутильных колебаний вала с тремя дисками.