Диагностирование характеристик вала с дисками по собственным частотам его крутильных колебаний (стр. 6 из 7)
Обратная задача. Пусть известны собственные частоты р колебаний вала, коэффициенты жесткости k1, k2 участков вала между дисками. Необходимо определить неизвестные моменты инерции масс двух дисков при известном моменте инерции третьего диска.
Пусть, например, известен момент инерции второго диска. Тогда, если рассмотреть снова две собственные частоты р1 и р2 колебаний вала, то уравнения (2.17) представляют собой систему алгебраических уравнений с двумя неизвестными I1, I3.
(3.5)Подставляя выражение
из второго уравнения системы (3.5) в первое уравнение, получим 
.Из последнего равенства выразим
через 
: 
(3.6)Здесь
.Подставим теперь выражение (3.6) в первое уравнение системы (3.5). После преобразований имеем
(3.7)где
.Решая уравнение (3.7) относительно неизвестной
, получим квадратное уравнение 
дискриминант которого имеет вид
.Тогда
. (3.8)Таким образом, моменты инерции масс двух дисков находятся однозначно по формулам (3.7) и (3.8). Подобные формулы можно получить для моментов инерции любых двух дисков при известном моменте инерции одного из трех дисков.
Аналогичная задача диагностирования решаема и для вала с четырьмя дисками, частотное уравнение которого получено нами в виде (2.20).
Вычисления, проведенные в пакете MAPLE, показывают, что из системы (3.4) можно однозначно определить коэффициентыжесткости двух любых участков вала между дисками при известном коэффициенте жесткости одного из трех участков. Причем все эти коэффициенты упругих закреплений определяются по двум собственным частотам крутильных колебаний вала.
2.4 Применение метода решения обратной задачи, программная реализация решения
Рассмотрим применение метода решения обратной задачи по определению характеристик вала с дисками на конкретных примерах.
Пример 4
Известны собственные частоты крутильных колебаний вала с тремя дисками:
, 
. Момент инерции массы первого диска 
коэффициенты жесткости участков вала между дисками 
, 
.Найти моменты инерции масс второго и третьего дисков.Решение.
Подставляя значения
, в уравнение (2.20), получим систему двух уравнений с двумя неизвестными 
. Решение системы, найденное в пакете Maple, имеет вид: 
. Значения определены верно, так как по решению прямой задачи именно этим моментам инерции соответствуют данные значения собственных частот.Пример 5
По двум собственным частотам
, крутильных колебаний вала с тремя дисками и известным моментам инерции 
диагностировать коэффициенты жесткости участков вала на кручении.Решение
Уравнение (2.17) при заданных значениях
, представляет собой следующую систему: 
из которой получаем, что
, . Эти же значения коэффициентов получаются при подстановке значений собственных частот в аналитические формулы (3.2) и (3.3). Коэффициенты продиагностированы верно, так как именно этим коэффициентам при решении прямой задачи соответствовали заданные значения собственных частот.Пример 6
Рассматривается вал с четырьмя дисками, для которого известны
, , 
. По частотам 
определить моменты инерции масс первых трех дисков.Решение
Подставляя значения
в уравнение (2.20), получим систему трех уравнений с тремя неизвестными 
. Решение системы имеет вид 
.Значения определены верно, так как по решению прямой задачи именно этим моментам инерции соответствуют данные значения собственных частот.Рассмотрим программные реализации решений обратных задач.
Решение примера 4
> restart;
> i1:=0.2;
> k1:=0.1;
> k2:=0.2;
> p:=.8480705122;
> p:=1.667566013;
> p:=-1.667566013;
> t1:=.5172825777-.7192235937e-1*(i1+i2)/i1/i2-.1438447187*(i2+i3)/i2/i3+.2e-1*(i1+i2+i3)/i1/i2/i3 = 0;
> t2:=7.732717430-.2780776408*(i1+i2)/i1/i2-.5561552816*(i2+i3)/i2/i3+.2e-1*(i1+i2+i3)/i1/i2/i3 = 0;
> t3:=7.732717430-.2780776408*(i1+i2)/i1/i2-.5561552816*(i2+i3)/i2/i3+.2e-1*(i1+i2+i3)/i1/i2/i3 = 0;
> solve({t1,t2,t3},{i2,i3});
Решение примера 5
> restart;
> i1:=0.2;
> i2:=0.3;
> i3:=0.1;
> p:=.8480705122;
> p:=1.667566013;
> t1:=p^4-(k1*(i1+i2)/(i1*i2)+k2*(i2+i3)/(i2*i3))*p^2+k1*k2*(i1+i2+i3)/(i1*i2*i3)=0;
> t2:=p^4-(k1*(i1+i2)/(i1*i2)+k2*(i2+i3)/(i2*i3))*p^2+k1*k2*(i1+i2+i3)/(i1*i2*i3)=0;
> solve({t1,t2},{k1,k2});
Решение примера 6
> restart;
> i4:=0.2;
> k1:=0.1;
> k2:=0.2;