Смекни!
smekni.com
Промышленность и производство

Изгиб прямолинейного стержня (стр. 2 из 2)

Поперечная сила Q и изгибающий момент Ми в общем случае зависят от положения сечения по длине стержня, т.е. от величины х. Проверку условий прочности проводят в опасных наиболее нагруженных сечениях, в сечениях с наибольшими внутренними силами и максимальными напряжениями. Для нахождения опасных сечений и для наглядного представления о характере изменения внутренних сил строят графики распределения поперечных сил Q = Q (x) и изгибающего момента Ми = Ми (х) по длине стержня, т.е. эпюры поперечных сил и изгибающего момента.

Стержень разбивают на участки, на протяжении которых нагрузка однородна. Для эпюр Q и Ми проводят линии, параллельные продольной оси стержня. Границы участков сносят на эти линии. Для каждого участка составляют общие выражения величины поперечной силы Q = Q (x) и изгибающего момента Ми = Ми (х), для чего рассматривают произвольные сечения в пределах участка. Далее строят эпюры Q и Ми, задавая аргументу х значения в пределах каждого участка. Величины поперечной силы и изгибающего момента откладывают как ординаты эпюры в масштабе: Рассмотрим изменение τ для стержня прямоугольного сечения (рис. 5.23, б). Статический момент заштрихованной площадки относительно нейтральной оси z равен

, где
– расстояние от оси z до центра масс отсеченной части сечения. Это уравнение параболы. Касательные напряжения определим по формуле учитывая, что Iz = bh3/12;

.

Эпюру касательных напряжений (рис. 5.23, в) строим по трем точкам: τy = h/2 = τy = –h/2 = 0; τy =0 = 1,5 (Q/A).

Наибольшие касательные напряжения в поперечном сечении действуют на уровне нейтральной оси. Для стержней прямоугольного сечения они в 1,5 раза больше того напряжения, которое получилось бы при равномерном распределении касательных напряжений по сечению.

Касательные напряжения при изгибе максимальны на нейтральной оси и при других формах поперечного сечения. Для стержней круглого поперечного сечения они равны τmax = (4/3)(Q/A), для стержней кольцевого сечения – τmax = 2(Q/A).

Условие прочности стержней при изгибе по касательным напряжениям имеет вид τmax ≤ τadm, где τadm – допускаемое напряжение материала стержня на срез или сдвиг. Отметим, что касательные напряжения в поперечных сечениях изгибаемых стрежней много меньше нормальных, поэтому расчет на прочность ведут обычно по нормальным напряжениям в соответствии с выражением без учета влияния поперечных сил.

Определение деформаций при изгибе

При изгибе деформация в поперечном сечении стержня (рис. 4, а) определяется перемещением у центра масс сечения в направлении, перпендикулярном первоначальному положению оси стержня, называемым прогибом и углом поворота θ сечения по отношению к своему первоначальному положению. Для нахождения деформаций во всех поперечных сечениях по длине стержня необходимо получить зависимости у = y(x) и θ = θ(x). Первую называют уравнением изогнутой оси или уравнением прогибов.

Рис. 4

Касательная к изогнутой оси стержня в любой ее точке составит с первоначальной осью угол, равный углу поворота θ сечения в данной точке. Тангенс угла θ наклона касательной tgθ = dy/dx. Но так как фактические значения углов поворота поперечных сечений при изгибе малы, порядка тысячных долей радиана, можно тангенс угла приравнять значению угла (tgθ ≈ θ) и найти связь между углом поворота сечения и прогибом в виде зависимости θ ≈ ≈ dy/dx.

Из курса математики известна следующая зависимость для кривизны K линии, расположенной в плоскости x0y:

. (2)

Но так как (dy/dx)2 = tg2θ = θ2 << 1, то выражение (2) упростим, представив в виде

. (3)

Используя зависимость (5.67), свяжем кривизну оси стержня с изгибающим моментом Ми и жесткостью поперечного сечения EIz:

K = 1/ρ = Ми/(EIz). (4)

Сравнивая полученные выражения кривизны в зависимостях (3) и (4), получим дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня:

, (5)

интегрирование которого не представляет затруднений. Выбор знака в выражении определяется принятой системой координат.

Принятый ранее знак изгибающего момента Ми (рис. 4, б, в, г, д) не зависит от направления координатных осей.

Кривизна линии положительная, т.е. y'' = d2y/dx2 > 0, если вогнутость кривой совпадает с положительным направлением оси у (рис. 4, б, д) и наоборот (рис. 4, в, г).

При принятом направлении оси у вверх, знаки правой и левой частей уравнения (5) всегда одинаковы, т.е. при y'' > 0 и Ми > 0, а при y'' < 0 и Ми < 0. Поэтому выражение 5) представим как

d2y/dx2 = Ми/ (EIz). (6)

Для нахождения уравнений, определяющих деформации сечений стержня или их угловые и линейные перемещения, необходимо произвести интегрирование уравнения. Проинтегрировав уравнение один раз, получим уравнение углов поворота

θ = dy/dx =

. (7)

Интегрируя уравнение (5.80) второй раз, получим уравнение прогибов

, (8)

где С и D – постоянные интегрирования, определяемые из граничных условий, каковыми являются условия крепления изгибаемых стержней.

Так, для стержня, жестко закрепленного одним концом, в месте крепления должны быть равны нулю и прогиб у, и угол поворота сечения. Для стержня, опирающегося на шарнирные крепления, прогиб равен нулю в местах крепления.

Пример.

Определить прогиб и угол поворота свободного конца консоли стержня (рис 4, а) длиной ℓ, нагруженного на конце сосредоточенной силой F. Жесткость стержня постоянна по длине и равна EI.

Начало координат примем в точке В жесткого закрепления стержня. Ось у направим вверх, ось х – вправо.

В произвольном поперечном сечении, отстоящем на расстоянии х от начала координат, изгибающий момент равен Ми = –F (ℓ – x). Дифференциальное уравнение изогнутой оси примет вид EI(d2y/dx2) = –F(ℓ – x). Интегрируя это уравнение, получим EI(dy/dx) = = –F× [ℓx – (x2/2)] + С. Интегрируя далее, получим уравнение прогибов

EIy = –F [(ℓx2/2) – (x3/6)] + Cx + D.

Приняв во внимание, что в месте закрепления при х =0 прогиб у и угол поворота сечения θ = dy/dx равны нулю, найдем, что постоянные интегрирования С =0 и D = 0. Тогда на свободном конце стержня при х = ℓ, прогиб y = (–Fℓ3)/(3EI) и угол поворота торцового сечения θ = dy/dx = (–Fℓ2)/(2EI).

Знак минус в выражениях прогиба и угла поворота указывает, что прогиб осуществляется в направлении, противоположном положительному направлению оси у, т.е. вниз, а торцовое сечение поворачивается по направлению движения часовой стрелки.


ЛИТЕРАТУРА

1. Красковский Е.Я., Дружинин Ю.А., Филатова Е.М. Расчет и конструирование механизмов приборов и вычислительных систем: Учебное пособие. М.: – Высш. шк., 2001. – 480 с.

2. Сурин В.М. Техническая механика: Учебное пособие. – Мн.: БГУИР, 2004. – 292 с

3. Ванторин В.Д. Механизмы приборных и вычислительных систем: Учебное пособие. – М.: Высш. шк., 1999. – 415 с.

 
назад
1
2
НАПИШИТЕ НАМ
Copyright © Smekni.com. All rigths reserved.