Математическая модель процесса вытяжки трубчатой заготовки (стр. 2 из 3)
Коэффициенты матрицы C зависят от координат r и z точки внутри элемента. Для треугольника с узлами в вершинах координаты r и z можно заменить средними по элементу значениями:
(20)Вектор напряжений s имеет вид:
(21)Выразим с помощью линейного закона, выражаемого матрицей жёсткости, напряжения через узловые перемещения
,(21’)где D – матрица материальных констант.
Потенциальная энергия деформации элемента с учётом (20) и (19)
.(22)Интеграл в выражении (2.22) есть матрица жёсткости выбранного элемента
,(23)Элементарный объём
. Поэтому матрица жёсткости элемента записывается следующим образом: 
,(24)где S – площадь элемента.
С учётом проделанных преобразований уравнение равновесия элемента через узловые перемещения выражается в форме:
(25)где K - матрица жёсткости; P,
- векторы внешних сил и узловых перемещений, соответственно.При наличии упругих и пластических деформации связь между напряжениями и деформациями нелинейна. Решение нелинейной системы уравнений весьма трудоемко. Поэтому при использовании деформационной теории часто используют кусочно-линейный закон связи напряжений и деформации. Тогда при решении задачи в приращениях напряжений Ds и деформации De, связь между которыми можно считать линейной, получаем систему линейных уравнений:
(26)Одним из способов решения задачи в приращениях является метод последовательных нагружений. Для квазистатической задачи приращения внешних сил DP вычисляются на шаге по времени Dt. При этом вектор внешних сил P в момент времени t равен:
(27)где n – шаг нагружения.
Таким образом, с учётом вышеизложённого, вариационное уравнение равновесия в матричной записи принимает вид:
(28)где
- вектор приращений перемещений.3. Представление матрицы жёсткости
В пределах упругости связь между приращениями напряжений и деформации выражается законом Гука. Согласно ему компоненты приращений деформации являются линейными функциями приращений напряжений. Пластическое состояние материала описывается теорией малых упругопластических деформации Ильюшина. Принимается теория изотропного упрочнения. Объёмная деформация в пластической зоне остается упругой и для нее выполняется объёмный закон Гука:
,(29)где q - относительное изменение объёма.
Модуль объёмного сжатия k для изотропного тела в случае осесимметричной деформации имеет вид:
.(30)Модуль сдвига G связан с модулем Юнга E и коэффициентом Пуассона n формулой:
в упругой области:
(31)в пластической:
(32)Здесь H – касательный модуль упрочнения. Коэффициент Ляме - l определяется формулой:
(33)Таким образом, матрица материальных констант D имеет вид:
.(34)Следует особо отметить, что использовать матрицу жёсткости в таком виде для пластического состояния можно, только связывая приращения деформации и напряжений, о чем было сказано ранее при выводе уравнения равновесия.
Зная текущее состояние элемента, предел текучести, накопленную деформацию и приращения внешних сил, можно определить изменение напряжённо-деформированного состояния на шаге приращения перемещений Du и сил DР, используя для вычисления K по формуле ( упругое или пластическое представление матрицы жёсткости.
4. Пластическая деформация
Пластическая деформация твердого тела рассматривается в рамках деформационной теории пластичности. Приняты следующие исходные положения:
¾ тело изотропно;
¾ относительное изменение объёма мало и является упругой деформацией, пропорциональной среднему давлению:
или 
;¾ полные приращения составляющих деформации Deij складываются из приращений составляющих упругой деформации Deeij и пластической деформации Depij:
;¾ девиаторы приращений напряжения и деформации пропорциональны:
.Напряжённо-деформированное состояние элемента на i+1 шаге характеризуется интенсивностью деформации ei:
(35)где eij - компоненты тензора деформации.
Если интенсивность деформации какого - либо конечного элемента превысила текущий предел упругости по деформациям
, то этот элемент переходит из упругого в пластическое состояние. Если материал упрочняется при пластическом деформировании, то соответствующая пределу упругости деформация εе увеличивается на величину Deе(Рис. 7): 
(36)Вычисление предела упругости по деформациям 
, достигнутого на шаге k определяется суммированием:
.(37)Имеется в виду, что в упругой области предел упругости не изменяется, его приращения не вычисляются и равны нулю.
Накопленная пластическая деформация определяется разностью интенсивностей полной деформации ei и деформации ee, соответствующей пределу упругости:
(38)Излагаемые в дальнейшем итерационные методы для достижения удовлетворительной сходимости требуют соблюдения непрерывности и гладкости кривой упрочнения. Поэтому в конце упругого участка кривой упрочнения введён нелинейно упругий участок, на котором модуль упрочнения вычисляется по формуле:
,(39)где
- интенсивность деформации, соответствующая пределу пропорциональности.Соотношение (39) выражает пропорциональное изменение модуля упрочнения при переходе от упругого состояния к пластическому. Предел упругости по напряжениям в этом случае будет определяться соотношением
,(40)где eеp – деформация в области нелинейной упругости:
.Вектор приращений компонент тензора напряжения на шаге k в пластическом состоянии определяется по приращениям компонент деформации:
.(41)Вектор компонент напряжения на шаге k в упругом и пластическом состоянии суммируется по приращениям:
.(42)Интенсивность напряжений определяется по компонентам тензора напряжения sij:
.(43) 
Рис. 2.Изменение предела упругости по деформациям при упрочнении
Если интенсивность деформации уменьшилась:
,(44)то материал разгружается и переходит в упругое состояние. При нарушении неравенства (2.44) вновь происходит переход элемента в пластическое состояние.
5. Оценка повреждаемости заготовок
Для оценки деформируемости и прогнозирования разрушения заготовок в процессах обработки давлением получила развитие феноменологическая теория разрушения, использование которой основано на полученных опытным путем диаграммах пластичности и информации о напряжённо-деформированном состоянии в процессах обработки металлов давлением.
Оценку деформируемости заготовок, а также расчёт предельных технологических параметров проводят с помощью деформационных критериев, в основу которых положены ограничения, накладываемые на деформации. При этом для процессов, сопровождающихся монотонным, но сложным деформированием, в качестве меры повреждений принимают обычно некоторую скалярную характеристику.