Математическая модель процесса вытяжки трубчатой заготовки (стр. 3 из 3)
Если влиянием истории деформирования пренебречь, то можно использовать критерий Смирнова-Аляева:
(45)Либо, нормируя на единицу, получим меру повреждений y:
(46)где ep(h) - предельная деформация в момент появления первых трещин, обнаруживаемых визуально; h - показатель напряжённого состояния:
(47)s - среднее нормальное напряжение; si – интенсивность напряжений.
Для учёта влияния истории деформирования и использования соотношения (47) для простого нагружения, примем за меру повреждений y выражение (критерий Колмогорова):
,(48)где
- степень деформации к рассматриваемому моменту; 
- предельная деформация, определяемая по диаграммам пластичности соответствующих материалов.Добавление в конечно-элементную модель критерия деформируемости позволило проводить контроль на разрушение заготовки во время деформирования, а также прогнозировать состояние готового изделия.
6. Взаимодействие заготовки с инструментом
Заготовка представляет собой совокупность узлов, связанных между собой конечно-элементной сеткой. Далее “узлами” будут называться узлы конечно–элементной сетки заготовки. Поведение узлов описывается соотношениями МКЭ. Инструмент является абсолютно жёстким телом, ограниченным непроницаемыми для узлов заготовки границами. Границы инструмента аппроксимируются прямолинейными и радиусными участками, состыкованными друг с другом в единую поверхность. В дальнейшем под именем “граница” будет пониматься граница инструмента. Инструмент может быть неподвижным и подвижным. Для адекватного описания технологических процессов штамповочного производства математическая модель позволяет использовать один подвижный инструмент и несколько неподвижных (например, матрица и оправка).
Неподвижный инструмент зафиксирован в пространстве. В случае попадания узла заготовки на границу такого инструмента на его (узла) перемещения накладываются ограничения – граничные условия, такие, что узел может двигаться только вдоль границы или от неё. Математически эта модель реализуется следующим образом.
В точке касания узла границы вычисляется угол наклона границы. В осесимметричной задаче горизонталь параллельна радиальной оси, а вертикаль – оси симметрии тела. Если граница в этой точке параллельна осевому направлению, то узлу запрещаются радиальные перемещения. Если же граница параллельна радиальному направлению, то узлу запрещаются осевые перемещения. В случае с наклонной границей устанавливается связь между радиальной и осевой степенями свободы узла:
,(49)где r – радиальная степень свободы; z – осевая; k – тангенс угла наклона границы.
В матричном представлении это означает, что в матрицу жёсткости добавляется дополнительная строка с единицей на позиции, соответствующей номеру запрещённой степени свободы. Для наклонной границы используется соотношение:
(50)То есть в ячейки, соответствующие степеням свободы r и z данного узла, вносятся стоящие при них в уравнении (50) коэффициенты. Таким образом, удовлетворяется уравнение связи (49).
Рис. 3. Ограничения неподвижных границ
Подвижная граница перемещается в заданном направлении (вертикальном или горизонтальном, в зависимости от вида процесса) на величину DH на каждом шаге:
(51)где H – полный ход инструмента; i – число шагов решения.
Если после очередного перемещения границы какой-либо узел (или несколько) может оказаться “в теле” инструмента, то ему назначается принудительное перемещение на величину Dh:
или 
(52)Здесь R, Z – координаты подвижной границы; r, z – координаты узла.
Таким образом, перемещение узла в направлении перпендикулярной границе степени свободы будет обеспечивать его движение вместе с границей, включая момент касания. В этом случае перемещение узла перпендикулярно границе не запрещается, а подчиняется равенствам:
или
(53)Для системы уравнений это означает внесение в соответствующие данному узлу ячейки матрицы жёсткости коэффициентов 0 и 1 в зависимости от направления движения и в правую часть величины Dh.
Рис. 4Ограничения подвижных границ
Подвижная наклонная граница моделируется так же, как подвижная вертикальная или горизонтальная. Возникающая при этом ошибка, связанная со смещением узла вдоль границы минимизируется последовательными приближениями (см. Рис. 5).
Рис. 5. Процедура уточнения положения узла при смещении его подвижным инструментом
7. Трение
При пластическом формоизменении на границе контакта материала и инструмента возникает сила трения. При этом направление течения материала зависит от величины силы трения, то есть направление силы трения на границе контакта заранее не известно и может изменяться.
Модуль напряжения трения определяется законом Кулона (54):
,(54)где sN – нормальное напряжение на границе инструмента; m – коэффициент трения скольжения; tK – касательное к границе напряжение .
Рис. 6. Контакт конечного элемента заготовки с инструментом
При пластическом течении касательное напряжение в элементах tK, контактирующих с внешними телами (матрица или пуансон), не должно превышать предел текучести при сдвиге tS:
(55)Для выполнения этого условия предложен следующий алгоритм расчёта. Для элемента, лежащего на границе, определяется касательное напряжение tK, по которому вычисляется узловая сила трения:
(56)где SK – площадь контакта элемента с границей инструмента. Если к узлу примыкают два элемента, лежащие на границе, то узловая сила трения получается суммированием сил, вычисленных по формуле (56). Для определения направления силы трения реализуется следующий алгоритм. Сначала выполняется шаг нагружения без учёта трения (FTP=0). Затем по результатам этого шага в каждом узле на границе контакта определяется нормальная узловая сила на границе контакта, приращение перемещения вдоль неё и, описанным выше способом, сила трения.
В процессе деформирования узлы, скользящие по границе инструмента, могут останавливаться и затем менять направление движения. В неподвижном состоянии узловая сила трения может оказаться меньше рассчитанной по формулам (54) – (56). Для этого введено последовательное уточнение силы FTP прибавлением к ней величины невязки DFTP:
(57)Здесь n – номер итерации при уточнении силы трения.
Начальное значение невязки определяется силой трения:
(58)Последующие значения невязки могут менять знак:
(59)Эта формула обеспечивает рост силы трения в направлении противоположном движению. Если сила трения возрастает настолько, что меняет направление движения узла, то эта же формула обеспечит уменьшение силы трения.
Сходимость итерационного процесса обеспечивается уменьшением величины невязки при смене направления движения:
(60)Кроме того, рост силы трения FTP ограничен её предельным значением
, вычисленным по формулам (54) – (56). Описанная итерационная процедура приближает силу трения к значениям, изображённым на графике (Рис. 7). 
Рис. 7. Зависимость силы трения от направления движения узла
Основные выводы
1. Приведенная математическая модель, сделанная на базе метода конечных элементов, является наиболее универсальной и адекватной с точки зрения оценки протекающих в ней процессов.
2. Модель подвижной наклонной границы позволяет более точно представить процесс, а также оценить картину деформирования и течения материала на радиусах скругления инструментов.
3. Создание на начальном этапе решения задачи трех одинаковых копий матрицы жесткости и последующее в ходе выполнения наложение на две из них условий, связанных с перемещениями узлов, и использование третьей матрицы без изменения для определения узловых сил по перемещениям позволило сократить время вычислений, так как создание копии является более быстрым процессом, чем формирование матрицы жесткости.
4. Введение в модель учета повреждаемости заготовки позволило не только проводить контроль за разрушением заготовки непосредственно во время протекания процесса, но и прогнозировать состояние изделия, полученного смоделированным методом.