Механизмы имплантации в металлы и сплавы ионов азота с энергией 1-10 кэВ (стр. 7 из 12)
Для аналитического расчета распределения по глубине мишени концентрации внедренных ионов по формуле (2.36) необходимо определить средний проецированный пробег и его страгглинг. Для одноатомных веществ можно воспользоваться соотношением (2.3). Реальные материалы имеют более сложный химический состав и физические процессы, протекающие при ионной имплантации в них имеют вероятностный характер. Для учёта этих факторов используется метод имитационного моделирования Монте-Карло.
3.1 Методика расчета пробегов ионов методом Монте-Карло
Для определения среднего проецированного пробега Rp и его отклонения ΔRp воспользуемся методом имитационного моделирования Монте-Карло. Этот метод используется для расчёта пробегов ионов в подложках сложного химического состава. Он основан на расчёте потерь энергии ионом из соотношений (2.8) и (2.34) при каждом отдельном взаимодействии с атомом мишени.
При этом случайными величинами при моделировании каждого взаимодействия будут прицельный параметр р, а также характеристики очередного атома мишени М2, Z2. Такой метод имитационного моделирования позволит учесть неоднородность химического состава обрабатываемого материала.
Таким образом, для моделирования процесса внедрения ионов в рамках методики расчета концентрационных напряжений воспользуемся формулой (2.36). Для определения входящих в (2.36) параметров (среднего проецированного пробега ионов и его отклонения) разработана методика расчета методом Монте-Карло.
В соответствии с теорией Линхардта-Шарфа-Шиотта учитываются потери энергии только при неупругих взаимодействиях с электронами и упругих взаимодействиях с ядрами
(3.1)где Т - общие потери энергии при одном взаимодействии, Дж.
В качестве потенциала взаимодействия используется универсальный потенциал Томаса-Ферми (2.27), так как для него рассчитана прямая зависимость энергетических потерь от прицельного параметра (2.34).
Модель одного взаимодействия иона с атомом материала подложки. Потери энергии ионом в материале подложки рассчитываются в соответствии с (3.1). После каждого взаимодействия энергия иона уменьшается на величину T.
Электронные потери рассчитываются по формуле (2.34). При этом E– текущая энергия иона (энергия иона до столкновения). Скорость иона рассчитывается в соответствии с энергией иона перед столкновением. Прицельный параметр p генерируется как случайная величина в пределах половины межатомного расстояния; М2, Z2 – атомный номер и атомная масса элемента вещества подложки, генерируются в соответствии с процентным содержанием элемента в материале мишени. Затем определяются Zminи Zmaxдля использования в формуле (2.34).
Преобразуем (2.8) к более наглядному виду для вычислений, подставив (2.9) в (2.8):
. (3.2)Для расчёта потерь энергии при столкновении иона с ядрами атомов мишени выполняется по формуле (3.2).
Интеграл в формуле (2.21), использующейся для вычисления угла α, можно вычислить в аналитическом виде лишь для некоторых определенных зависимостей потенциала взаимодействия частиц от их взаимного расстояния. В общем виде интеграл в выражении (2.21) приходится вычислять численным методом, что не всегда легко сделать, так как подынтегральное выражение содержит особенность при r = rmin.
В этом случае удобно провести следующие величины:
(3.3)В результате получаем угол отклонения частицы в силовом поле в виде, удобном для численных расчётов [57]:
, (3.4)В данном виде подинтегральная функция не имеет особенностей [57], так как
(3.5)Дифференциальное сечение рассеяния для потенциала Томаса—Ферми—Фирсова вычислено Линдхардом, Нильсоном и Шарфом [72]:
, (3.6)где
, 
.Значения функции
, найденные численным методом, приведены в работе [57]. Для практического использования функцию можно представить в виде: 
, (3.7)где константа
[73].Из вышесказанного следует, что применение потенциала Томаса-Ферми-Фирсова наиболее целесообразно для расчёта ядерных потерь энергии ионами газов при имплантации в металлы или сплавы, так как для него рассчитана прямая зависимость энергетических потерь от прицельного параметра (2.34) и дифференциальное сечение рассеяния dσ; причём он даёт более точные результаты, чем, к примеру, потенциал Бора.
В основе метода Монте-Карло лежит алгоритм расчета среднего и среднего проецированного пробега иона и его отклонения итерационным методом, основанным на расчёте энергетических потерь иона при каждом отдельном столкновении с атомом мишени. Схема алгоритма приведена на рисунке 3.1. Последовательность действий расчета среднего проецированного пробега следующая:
a) случайным образом, в пределах половины межатомного расстояния, генерируется прицельный параметр p, а также характеристики очередного атома мишени (атомный номер Z2 и атомная масса М2), в соответствии с процентным содержанием элемента в материале мишени;
b) определяются потери энергии по формуле (3.1);
c) рассчитывается текущая энергия иона:
;рассчитывается текущее значение пробега иона, при условии
: 
;d) определяется значение среднего проецированного пробега иона:
где θ1 – угол отклонения в ЛСК, определяется по формуле (2.6);
e) если
, то Rpi принимается в качестве значения пробега, в противном случае пункты a - e повторяются;f) для расчета распределения количества ионов по глубине пункты a - f повторяются для каждого иона (количество ионов в потоке задаётся экспериментатором);
g) обрабатывается полученный массив значений Rpi, при этом рассчитывается средний проецированный пробег и среднее квадратичное отклонение пробега.
Расчет среднего проецированного пробега ведется по формуле (3.8) [10]:
, (3.8)где N - количество элементов массива (число ионов в потоке), i - номер элемента, Rpi – проецированный пробег, рассчитанный по приведенному выше алгоритму для каждого иона, м.
Рисунок 3.1 – Алгоритм расчета методом Монте-Карло пробега иона в материале подложки
Среднее квадратичное отклонение пробега (страгглинг пробега) рассчитывается по формуле [3]:
, (3.9)где
- средний проецированный пробег, рассчитанный по формуле (3.8), м.Размер фазовых зерен в реальном материале, как правило, значительно превышает длину среднего проецированного пробега. На основании этого предположения предлагается методика расчета распределения концентрации внедренных ионов по глубине реального материала.
3.2 Методика расчета распределения концентрации внедренных ионов по глубине материала
Расчет распределения концентрации внедренных ионов по глубине материала будем проводить следующим образом:
1) Получим зависимости среднего проецированного пробега Rp и страгглинга пробега ΔRp ионов для данной фазы материала мишени от энергии ионов. Для получения этих зависимостей необходимо провести расчет распределения количества внедренных ионов по глубине мишени в соответствии с алгоритмом, приведенном на рисунке 3.1 и определить характеристики полученного распределения - его математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение (по формулам 3.8 и 3.9);
2) Расчет распределения концентрации внедренных ионов будем проводить, исходя из аналитической формулы (2.36), с использованием полученных зависимостей. Для учета химического состава и фазовой структуры материала введем весовые коэффициенты для фаз, которые можно получить из процентного содержания каждой фазы в материале мишени [3]:
(3.10)где Pi - процентное содержание каждой фазы в материале мишени.