Обработка металла давлением (стр. 4 из 9)
Способ получения разрешающих уравнений для КЭ, основанный на оптимизации функционала (2.1), является общепризнанным при теоретическом решении задач ОМД, поскольку вариационные принципы имеют наглядный физический смысл и достаточно строгое математическое обоснование.
По отношению к функционалу (2.1) известны три вида вариационных принципа теории пластичности в зависимости от того, через какие переменные величины выражена мощность (потенциальная энергия) деформации [8].
Принцип минимума полной мощности (полной энергии) или принцип возможных изменений деформированного состояния рассматривает мощность (потенциальную энергию) деформируемого тела как функционал произвольной системы скоростей (перемещений), удовлетворяющей кинематическим граничным условиям, и который принимает минимальное значение для системы скоростей (перемещений) фактически реализуемой в деформируемом теле.
Принцип минимума дополнительной работы Кастильяно или принцип возможных изменений напряженного состояния рассматривает дополнительную работу как функционал произвольной системы напряжении, удовлетворяющей уравнениям равновесия внутри тела и на его поверхности, и, который принимает минимальное значение для системы напряжений, фактически реализуемой в деформируемом теле.
В вариационном принципе Рейсснера или принципе возможных изменений напряженного и деформированного состояний мощность (энергия) рассматривается как функционал скоростей и напряжении, и переменные той и другой группы варьируются независимо друг от друга.
Каждому из перечисленных вариационных принципов соответствует определенная форма МКЭ. Принципу минимума полной мощности (полной энергии) соответствует кинематический метод, принципу минимума дополнительной работы - метод напряжении, а вариационному принципу Рейсснера - смешанный метод.
При нагружении тела потенциальная энергия внешних сил изменяется. При этом внешние силы совершают работу. Потенциал внешних сил W численно равен работе этих сил:
(2.3)где P – поверхностные силы,
u – перемещения,
S – площадь поверхности тела.
В результате изменения потенциальной энергии внешних сил тело деформируется и накапливает потенциальную энергию деформации Q.
(2.4)где s - напряжения,
е - деформации,
V – объем тела.
Сумма энергии деформации и потенциала внешних сил равна полной потенциальной энергии:
(2.5)В соответствии с принципом возможных перемещений Лагранжа изменение полной потенциальной энергии на возможных перемещениях равняется нулю:
(2.6)При этом под возможными перемещениями du понимаются сколь угодно малые отклонения системы от положения равновесия, допускаемые наложенными на систему связями. Из уравнения (2.6)следует, что в состоянии равновесия энергия П имеет стационарное значение. Можно показать, что в положении устойчивого равновесия этот экстремум соответствует минимуму.
С учетом изложенного вариационный принцип Лагранжа для статической задачи имеет вид:
(2.7)Минимизируя потенциальную энергию по возможным перемещениям, получаем систему линейных уравнений, решая которую определяем значения внешних сил.
2.2 Основные соотношения метода конечных элементов
Простейшим элементом, применяемым для решения осесимметричной задачи механики деформируемого твердого тела, является тороидальный элемент с тремя узлами, расположенными в вершинах треугольного сечения.
Рисунок 2.1 Конечный элемент в задаче осесимметричной деформации.
Вектор перемещений узловых точек конечного элемента имеет вид в случае осесимметричной деформации соответственно:
.Произвольная точка элемента получает перемещения ur и uz в направлении осей r и z. Поэтому матрица u имеет вид:
Узловые перемещения
и u связаны между собой матрицей аппроксимирующих функций N: 
Наиболее распространенный способ получения приближенных решений на основе использования вариационного уравнения по методу Релея - Ритца. Он заключается в том, что функции перемещений задаются в виде интерполяционного полинома. Если ограничиться полиномом первой степени, то эти функции будут иметь вид:
(2.8)Здесь ai - произвольные постоянные. При линейной аппроксимации стороны треугольника после деформирования элемента остаются прямыми.
Выразим ai через перемещения узлов элемента. В результате матрица N примет вид:
S - площадь сечения элемента:
где ri, zi - координаты i-го узла в соответствующих осях.
Деформированное состояние в любой точке тела описывается тензором малых деформаций Коши:
В условиях осесимметричной задачи тензор деформаций второго ранга сводится к вектору:
компоненты которого выражаются через производные перемещений по соответствующим координатам:
Связь между составляющими векторов деформаций и перемещений можно представить одним матричным равенством:
(2.9)где B – матричный дифференциальный оператор:
(2.10)Используя (2.9) и (2.10), можно выразить деформации через узловые перемещения
(2.11)Матрица функций формы C для осесимметричной деформации:
Заметим, что коэффициенты матрицы C зависят от координат r и z точки внутри элемента. Для треугольника с узлами в вершинах координаты r и z можно заменить средними по элементу значениями:
Вектор напряжений s имеет вид:
Выразим с помощью линейного закона, выражаемого матрицей жесткости, напряжения через узловые перемещения
, (2.12)где D – матрица материальных констант.
Потенциальная энергия деформации элемента с учетом (2.11) и (2.12)
. (2.13)Интеграл в выражении (2.13) есть матрица жесткости выбранного элемента
. (2.14)Элементарный объем
.Поэтому матрица жесткости элемента записывается следующим образом:
, (2.15)где S – площадь элемента.
С учетом проделанных преобразований уравнение равновесия элемента через узловые перемещения выражается в форме:
(2.16)где K - матрица жесткости; P,
- векторы внешних сил и узловых перемещений, соответственно.При наличии упругих и пластических деформаций связь между напряжениями и деформациями нелинейна. Решение нелинейной системы уравнений весьма трудоемко. Поэтому при использовании деформационной теории часто используют кусочно-линейный закон связи напряжений и деформаций. Тогда при решении задачи в приращениях напряжений Ds и деформаций Dе, связь между которыми можно считать линейной, получаем систему линейных уравнений:
(2.17)Одним из способов решения задачи в приращениях является метод последовательных нагружений. Для квазистатической задачи приращения внешних сил DP вычисляются на шаге по времени Dt. При этом вектор внешних сил P в момент времени t равен:
где n – шаг нагружения.
Таким образом, с учетом вышеизложенного, вариационное уравнение равновесия в матричной записи принимает вид: