Обработка металла давлением (стр. 5 из 9)
(2.18)где
- вектор приращений перемещений. 2.3 Представление матрицы жесткости
В пределах упругости связь между приращениями напряжений и деформаций выражается законом Гука. Согласно ему компоненты приращений деформаций являются линейными функциями приращений напряжений. Пластическое состояние материала описывается теорией малых упругопластических деформаций Ильюшина. Принимается теория изотропного упрочнения. Объемная деформация в пластической зоне остается упругой и для нее выполняется объемный закон Гука:
, 
- относительное изменение объема.Модуль объемного сжатия k для изотропного тела в случае осесимметричной деформации имеет вид:
Модуль сдвига G связан с модулем Юнга E и коэффициентом Пуассона nформулой:
в упругой области и
в пластической.
Здесь H – касательный модуль упрочнения. Коэффициент Ляме l определяется формулой:
Таким образом, матрица материальных констант D имеет вид:
(2.19)Следует особо отметить, что использовать матрицу жесткости в таком виде для пластического состояния можно, только связывая приращения деформаций и напряжений, о чем было сказано ранее при выводе уравнения равновесия.
Зная текущее состояние элемента, предел текучести, накопленную деформацию и приращения внешних сил, можно определить изменение напряженно-деформированного состояния на шаге приращения перемещений Du и сил DР, используя для вычисления K по формуле () упругое или пластическое представление матрицы жесткости.
2.4 Пластическая деформация
Пластическая деформация твердого тела рассматривается в рамках деформационной теории пластичности. Приняты следующие исходные положения:
· тело изотропно;
· относительное изменение объема мало и является упругой деформацией, пропорциональной среднему давлению:
или 
;· полные приращения составляющих деформации Dеij складываются из приращений составляющих упругой деформации Dеeij и пластической деформации
Dеpij:
;· девиаторы приращений напряжения и деформации пропорциональны:
.Напряженно-деформированное состояние элемента на i+1 шаге характеризуется интенсивностью деформаций ei:
er, ez, grz - компоненты тензора деформаций.
Далее в разделе будут упоминаться только интенсивности деформаций и напряжений.
Если интенсивность деформаций (далее - полная деформация) какого - либо конечного элемента превысила текущий предел упругости по деформациям ee, то элемент переходит из упругого в пластическое состояние. Если материал упрочняется при пластическом деформировании, то и предел упругости по деформациям ee увеличивается на величину Dee (рисунок 2.2):
Изменение предела упругости по деформациям на шаге i определяется формулой:
Пластическая деформация определяется разностью интенсивностей полной деформации e и пределом упругости по деформациям ee:
Интенсивность напряжений на шаге i в пластическом состоянии определяется текущим деформационным пределом упругости и модулем Юнга (рисунок 2.3):
Рисунок 2.2 Изменение предела упругости по деформациям при упрочнении.
Рисунок 2.3 Напряжения при упрочнении.
Разгрузка материала характеризуется переходом его в упругое состояние. В этом случае предел упругости не меняется, а интенсивность напряжений определяется формулой (рисунок 2.4):
Рисунок 2.4 Напряжения при разгрузке.
2.5 Оценка повреждаемости заготовок
Для оценки деформируемости и прогнозирования разрушения заготовок в процессах обработки давлением получила развитие феноменологическая теория разрушения, использование которой основано на полученных опытным путем диаграммах пластичности и информации о напряженно-деформированном состоянии в процессах обработки металлов давлением.
Оценку деформируемости заготовок, а также расчет предельных технологических параметров проводят с помощью деформационных критериев, в основу которых положены ограничения, накладываемые на деформации. При этом для процессов, сопровождающихся монотонным, но сложным деформированием, в качестве меры повреждений принимают обычно некоторую скалярную характеристику.
Если влиянием истории деформирования пренебречь, то можно использовать критерий Смирнова-Аляева:
Либо, нормируя на единицу, получим меру повреждений y:
(2.20)где
- предельная деформация в момент появления первых трещин, обнаруживаемых визуально;h - показатель напряженного состояния:
s - среднее нормальное напряжение;
si – интенсивность напряжений.
y - использованный ресурс пластичности, который при деформировании без разрушения меньше единицы.
Для учета влияния истории деформирования и использования соотношения (2.20) для простого нагружения, примем за меру повреждений y выражение:
,где
- степень деформации к рассматриваемому моменту; 
- предельная деформация, определяемая по диаграмме пластичности.Предельная деформация
по диаграммам пластичности соответствующих материалов[4,22,23].Добавление в конечно-элементную модель критерия деформируемости позволило проводить контроль на разрушение заготовки во время моделирования технологической операции радиального обжатия, а также прогнозировать состояние готового изделия.
2.6 Взаимодействие заготовки с инструментом
Основным предположением, определяющим понятие границы инструмента, является то, что материал заготовки не может проникать сквозь нее. Возможны два варианта контакта заготовки и инструмента: 1) инструмент неподвижен относительно заготовки, 2) инструмент перемещается относительно заготовки. В связи с этим рассматривается и два варианта формулировки граничных условий, которые будут определять ход решения задачи.
Для определения находится ли заготовка в контакте с инструментом, проводится проверка положения всех узлов относительно границы. Если узел не достигает границы, он считается свободным. Если узел оказался точно на границе контакта, то ему запрещено дальнейшее перемещение перпендикулярно этой границе. В том случае, если узловая сила давления заготовки на инструмент становится отрицательной, то узел считается свободным, и с него снимаются все ограничения. Если узел оказался за границей (в теле) инструмента, то он перемещается на неё в направлении движения инструмента. Затем на этот узел накладываются ограничения, аналогичные предыдущему. Узлы, которые в процессе деформации покидают поверхность инструмента, переходят в разряд свободных, то есть с них снимаются все ограничения на перемещения.
В случае подвижной границы фиксирование и освобождение узлов происходит, аналогично варианту с неподвижной границей. Для подвижной границы выполняется цикл, определяющий на каждом шаге ее положение. При этом узлы, находящиеся на границе на предыдущем шаге, получают перемещение по одной координате, соответствующее перемещению границы. Вторая координата узла определяется путем решения линейной системы уравнений. При этом если в результате вычисления узел оказался вне границы, итерационную процедуру повторяют до тех пор, пока предыдущее и последующее положение узла не совпадут с заданной степенью точности. Это положение будет соответствовать положению узлов на границе (рисунок 2.5).