Определение энергосиловых параметров (стр. 2 из 3)

(8)

где

- коэффициент, учитывающий влияние среднего главного напряжения (для плоского деформированного состояния

= 1,15);

- истинный предел текучести.

(9)

где

- сопротивление деформированию в линейном напряжённом состоянии;

;

- термомеханический коэффициент, учитывающий влияние обжатия,

для стали марки 10 при

;

- термомеханический коэффициент, учитывающий влияние температуры,

для стали марки 10 при

;

-термомеханический коэффициент, учитывающий влияние скорости деформирования, для стали марки 10 при

МПа

2.3. Определение контактных напряжений

Контактное напряжение состоит из двух составляющих:

- нормальное касательное напряжение σz, направление вектора которого совпадает с нормалью к площадке приложения сил,

- касательное контактное напряжение τк, действующее в плоскости площадки приложения сил. (см. рисунок 5)

Рисунок 5. Кинематическая схема при осадке

Направление элементарных сил трения на контактной поверхности, а следовательно, и контактных касательных напряжений показано на рисунок 5. Согласно правилу знаков касательные напряжения на половине фигуры справа от оси будут отрицательны, а слева – положительны. В силу симметрии сечения относительно координатных осей достаточно рассматривать лишь первый квадрант.

Выделим в теле бесконечно малый объём плоскостями, параллельными оси z на расстоянии x и x+dx от начала координат; длину этого объёма примем равной единице. (см. рисунок 6). На выделенный объём действуют нормальные напряжения σz, σx, σx+dσx и касательное напряжение τxz. Согласно второму допущению принимаем, что σz и σx не зависят от координаты z, т.е. постоянны по высоте и зависят только от координаты x. Тогда второе дифференциальное уравнение равновесия

тождественно обращается в нуль.

Рисунок 6. Схема к определению усилия осадки

Касательное напряжение τxz, переменное по ширине и высоте, на контактной поверхности равно τк - касательному напряжению, обусловленному

трением тела об инструмент. Величина уменьшается при удалении от контактной поверхности и вследствие симметрии на середине высоты полосы равна нулю. Примем, что τxzзависит от высоты полосы линейно, т.е.

. (10)

Тогда

. (11)

Подставив значение

в первое уравнение равновесия, получим:

(12)

Так как касательное напряжение на контактной поверхности обусловлено трением металла об инструмент, естественно его определить на основании закона Кулона - Амонтона:

(13)

Тогда

(14)

Уравнение пластичности для плоского деформированного состояния для нашего случая представим в виде:

(15)

Разность нормальных напряжений зависит от касательного напряжения.

Если касательное контактное напряжение не зависит от нормальных напряжений, то разность нормальных напряжений – величина постоянная. В частных случаях, когда τк и τxz равны нулю (трение отсутствует), σxи σz являются главными напряжениями и выражение (15) превращается в уравнение (6):

(16)

Когда τк достигнет максимальной величины k, уравнение (15) получит вид:

(17)

Дифференцируя уравнения (6) и (17), получаем уравнение пластичности в дифференциальной форме:

(18)

точное при указанных выше условиях постоянства или независимости τк от σx и σz.

Если τк зависит от нормального напряжения σz, как в нашем случае, при изменении τк от нуля до 0,7k для приближённых расчётов можно пользоваться уравнением пластичности в форме (6), а при 0,7k < τк ≤ k - в форме (15). Тогда выражение (17) является приближённым.

Подставив выражения (13) и (18) в уравнение (12), получим:

(19)

После разделения переменных и интегрирования находим:

(20)

Отсюда

(21)

Постоянную интегрирования C1 определим из граничного условия (при x=b, σz = - β∙σт = - σт):

(22)

Следовательно,

(23)

(24)

По формуле (23) можно определить σz в любой точке контактной поверхности.

Зона скольжения – участок где металл скользит по инструменту, контактное касательное напряжение является напряжением трения скольжения и подчиняется закону Кулона - Амонтона (напряжение трения равно произведению коэффициента трения на нормальное давление). На этом участке касательные напряжения возрастают, пропорциональны нормальному напряжению и изменяются от (х =0,5∙а) до (х = хв = 0,5∙а - ψ∙h).

Изменение нормального напряжения описывается уравнением:

Изменение касательного контактного напряжения - уравнением:

Однако увеличение абсолютной величины

с уменьшением х может происходить до значения

Эпюра нормальных напряжений в зоне скольжения – возрастающая показательная кривая. Эпюра касательных напряжений в зоне скольжения – возрастающая показательная кривая.

Вариант 1

Крайние значения:

При х = 0,5∙140 = 70 мм:

МПа.

При х = хв = 0,5∙140 – 0,28∙22 = 63,84 мм:

МПа.

Промежуточные значения:

При х = 68 мм:

МПа.

При х = 66 мм:

МПа.

Зона торможения – участок от (х = хв) до (х = хс = h), в котором равновероятно скольжение металла по инструменту и сдвиги внутри металла по плоскостям, параллельным контактной плоскости. После того как

достигнет значения

, а

значения

, рост касательного напряжения

прекращается и оно принимает постоянное значение

постоянства касательных напряжений