Основные требования. Квалификация размеров и теоретические основы аксонометрического проецирования (стр. 2 из 3)

Сущность аксонометрического проецирования, классификация

Аксонометрическая проекция, или аксонометрия, дает наглядное изображение предмета на одной плоскости.

Изображение предмета в аксонометрии получается путем параллельного проецирования его на выбранную плоскость проекций. При этом предмет жестко связывают с натуральной системой координат Oxyz. Аксонометрический чертеж получается состоящим из параллельной проекции предмета, дополненной изображением координатных осей с натуральными масштабными отрезками по этим осям.

В общем случае слово «аксонометрия» в переводе с древнегреческого означает осеизмерение: «аксон» – ось, «метрион» – измеряю.

Теорема Польке

Рассмотрев общие сведения об аксонометрических проекциях, можно сделать следующие выводы:

- аксонометрические чертежи обратимы;

- аксонометрическая и вторичная проекции точки вполне определяют её положение в пространстве.

Аксонометрические проекции обратимы, если известна аксонометрия трех главных направлений измерений фигуры и коэффициенты искажения по этим направлениям.

Аксонометрические проекции фигуры являются её проекциями на плоскости произвольного положения при произвольно выбранном направлении проецирования.

Очевидно возможно и обратное. На плоскости можно выбрать произвольное положение осей с произвольными аксонометрическими масштабами.

В пространстве всегда возможно такое положение натуральной системы прямоугольных координат и такой размер натурального масштаба по осям, параллельной проекцией которых является данная аксонометрическая система.

Немецкий ученый Карл Польке (1810-1876) сформулировал основную теорему аксонометрии: три отрезка прямых произвольной длины, лежащих в одной плоскости и выходящих из одной точки под произвольными углами друг к другу, представляют параллельную проекцию трех равных отрезков, отложенных на координатных осях от начала.

Согласно этой теореме, любые три прямые в плоскости, исходящие из одной точки и не совпадающие между собой, можно принять за аксонометрические оси. Любые отрезки произвольной длинны на этих прямых, отложенные от точки их пересечения, можно принять за аксонометрические масштабы. Эта система аксонометрических осей и масштабов является параллельной проекцией некоторой прямоугольной системы координатных осей и натуральных масштабов.

В практике построения аксонометрических изображений обычно применяют лишь некоторые определенные комбинации направлений аксонометрических осей и аксонометрических масштабов: прямоугольная изометрия и диметрия, косоугольная фронтальная диметрия, кабинетная проекция и др.

Виды проекций

Метод прямоугольного проецирования на несколько плоскостей проекций, обладая многими достоинствами, вместе с тем имеет и существенный недостаток: изображения не обладают наглядностью. Одновременноe рассмотрение двух (а иногда и более) изображений затрудняет мысленное воссоздание пространственного объекта. При выполнении технических чертежей часто оказывается необходимым наряду с изображением предметов в системе ортогональных проекций иметь изображения более наглядные. Для построения таких изображений применяют способ аксонометрического проецирования, состоящий в том, что данный предмет вместе с системой трех взаимно перпендикулярных осей координат, к которым он отнесен в пространстве, параллельно проецируется на некоторую плоскость, называемую плоскостью аксонометрических проекций (или картинной плоскостью). Проекция на этой плоскости называется аксонометрической или сокращенно аксонометрией.

Проекции осей X, Y, Z - прямые X', Y', Z' называются аксонометрическими осями. Пространственная координатная ломаная линия O a_x a A проецируется в плоскую ломаную линию O' a'_x a' A', называемую аксонометрической координатной ломаной. Точка A'- аксонометрическая проекция точки A; точка a' представляет собой аксонометрическую проекцию точки a. Аксонометрическую проекцию любой ортогональной проекции точки A называют вторичной проекцией точки A. Hа осях X, Y, Z отложен отрезок е, принимаемый за единицу измерения по этим осям. Отрезки e_x, e_y, e_z на аксонометрических осях представляют собой проекции отрезка e. Они являются единицами измерения по аксонометрическим осям. В общем случае e_x, e_y, e_z не равны e и не равны между собой. Отношения k = e_x /e, m = e_y /e, n = e_z /e называются коэффициентами (или показателями) искажения по аксонометрическим осям. Отношения между аксонометрическими проекциями отрезков, параллельных осям координат X, Y, Z и самими отрезками равны коэффициентам k, m, n. Коэффициенты искажения и угол v, образованный направлением проецирования с картинной плоскостью, связаны зависимостью

k² + m² + n² = 2 + ctg²(v)

Так как взаимное расположение картинной плоскости Р и координатных осей X, Y, Z, а также направление проецирования могут быть различными, то можно получать множество различных аксонометрических проекций. Если направление проецирования не перпендикулярно к картинной плоскости Р, то аксонометрическая проекция называется косоугольной; если же перпендикулярно, - то прямоугольной. Если все три показателя искажений между собой не равны, то проекция называется триметрической; если два показателя искажения равны (например, k = n), а третий отличен от них, то проекция называется диметрической; наконец, если все три показателя равны (k = m = n), то проекция называется изометрической. В практике большое распространение получили прямоугольные изометрическая и диметрическая проекции.

Характеристика прямоугольных аксонометрических проекций

Коэффициенты искажения Картинная плоскость, пересекая плоскости координат, образует треугольник, называемый треугольником следов. Точка O' пересечения перпендикуляра с плоскостью Р представляет собой прямоугольную аксонометрическую проекцию точки O, а отрезки O' Р'_x, O' Р'_y и O' Р'_z - прямоугольные аксонометрические проекции отрезков координатных осей OР'_x, OР'_y, OР'_z. Треугольники OO'Р'_x, OO'Р'_y, OO'Р'_z - прямоугольные, отрезки O'Р'_x, O'Р'_y, O'Р'_z являются их катетами, а отрезки OР'_x, OР'_y, OР'_z - гипотенузами. Отсюда

O'Р_x O'Р_y O'Р_z

------ = cos

, ------ = cos , ----- = cos ,

OР'_x OР'_y OР'_z

где

, , - углы наклона координатных осей X, Y, Z к плоскости

аксонометрических проекций. Так как

O'Р_x O'Р'_y O'Р'_z

----- = k, ----- = m, ----- = n, то k = cos

, m = cos , n = cos .

OР'_x OР'_y OР'_z

В прямоугольной аксонометрии коэффициенты искажения связаны зависимостью:

k² + m² + n² = 2

Изометрическая проекция Так как k = m = n, то 3k² = 2, k = 0,82, следовательно, коэффициенты искажения по осям X', Y', Z' = 0,82. Изометрическую проекцию для упрощения, как правило, выполняют без искажения по осям X', Y', Z', т.е. приняв коэффициент искажения равным 1, что соответствует увеличению линейных размеров изображения по сравнению с действительными в 1/0,82 = 1,22 раза.

Диметрическая проекция Если взять n = k и m = 1/2 k, то получим 2k² + k² /4 = 2, k² = 8/9, k = 0,94, следовательно, по осям X' и Z' коэффициенты искажения k = n = 0,94, а по оси Y' коэффициент искажения m = 0,47. Диметрическую проекцию, как правило, выполняют без искажения по осям X' и Z' и с коэффициентом искажения 0,5 по оси X'. В этом случае линейные размеры увеличиваются в 1/0,94 = 1,06 раза.

Углы между аксонометрическими осями в прямоугольных аксонометрических проекциях аксонометрические оси являются высотами треугольника следов, а точка Oр - точкой их пересечения (ортоцентром).

Нанесение линий штриховки Согласно ГОСТ 2.317 - 68 ЕСКД линии штриховки сечений в аксонометрических проекциях наносят параллельно одной из проекций диагоналей квадратов, лежащих в соответствующих координатных плоскостях, стороны которых параллельны координатным осям.

Аксонометрические проекции плоских фигур

Построение изображений плоских многоугольников сводится к построению аксонометрических проекций их вершин, которые соединяют между собой прямыми линиями. В виде примера рассмотрим построение пятиугольника. Линии X, Y примем за координатные оси. Проводим изометрические оси X_р и Y_р. Для построения изображения точки 1 достаточно на оси Yр отложить отрезок O_р-1, равный по величине координате Y₁. Затем откладываем в ту же сторону от точки O_р отрезок O_р-t, равный координате Y₂, и через точку t проводим прямую ab, параллельную оси X_р. Координаты X₂ вершин 2 и 5 пятиугольника одинаковы по величине, но различны по знакам; поэтому на изометрическом изображении откладываем в обе стороны от точки t отрезки t-2 = t-5 = X₂. Сторона 3-4 пятиугольника параллельна оси X. Отложив от точки q по оси Y_р отрезок q-O_р, равный координате Y₃, проводим прямую cd, параллельную оси X_р, и откладываем на ней отрезки q-3 = q-4 = X₃. Соединив точки 1, 2, 3, 4, 5 прямыми линиями, получаем аксонометрическую проекцию пятиугольника. Построение аксонометрических проекций плоской кривой сводится к построению проекций ряда ее точек и соединению их в определенной последовательности. Hа эллипсе намечаем ряд точек и определяем их прямоугольные координаты X и Y. Проведя аксонометрические оси, откладываем от точки O_р вдоль оси X_р отрезки, равные по величине координатам X намеченных точек, а вдоль оси Y_р - отрезки, равные по величине половине координат Y (показано построение точек a, b, c, d). Через концы отрезков проводим прямые, параллельные осям X_р, Y_р; на их пересечении получаем аксонометрические проекции соответствующих точек, которые соединяем плавной линией.