Основы проектирования и конструирования (стр. 2 из 53)
.Это уравнения движения точки в прямоугольных декартовых координатах.
Естественный способ.
Естественным (или траекторным) способом задания движения удобно пользоваться в тех случаях, когда траектория движущейся точки известна заранее.
На траектории АВ выбирают точку О¢ за начало отсчета и измеряют от нее дугу S
.Это и есть закон движения точки М вдоль траектории.
1.1.2.2 Скорость и ускорение точки
Одной из основных кинематических характеристик движения точки является векторная величина, называемая скоростью точки.
Вектор скорости точки в данный момент времени равен первой производной от радиуса-вектора точки по времени
.Ускорением точки называется векторная величина, характеризующая изменение с течением времени модуля и направления скорости точки.
Вектор ускорения точки в данный момент времени равен первой производной от вектора скорости или второй производной от радиуса-вектора точки по времени
.1.1.2.3 Решение задач кинематики точки
Ограничимся рассмотрением одного примера. Движение точки задано уравнениями:
, 
в системе СИ (м, с). Определить траекторию, скорость и ускорение точки.
Решение: Сначала исключим из уравнений t.
Для этого обе части первого уравнения умножим на 3, второго - на 4, а затем почленно вычтем из первого уравнения второе.
Получим
, или.
Следовательно, траектория - прямая линия, проходящая через начало координат под углом с
.Для определения проекций скорости на оси координат берем первые производные от исходных уравнений по времени
, 
.Тогда
м/с.Аналогично находим вторые производные и ускорение.
, 
, 
м/с2.Направлены векторы
и 
вдоль траектории. Подставляя в уравнение скорости t от 0 и более, убедимся, что при t > 1 скорость изменит направление. Есть еще движение тела - вращательное, плоскопараллельное [1, с.117-147].1.1.3 Основные сведения из динамики
Динамикой называется раздел механики, в котором изучается движение материальных тел под действием сил. В основе динамики лежат законы, открытые И. Ньютоном (1687 г)
1.1.3.1 Законы динамики [1, с.181-184]
Первый закон (закон инерции): Изолированная от внешних воздействий материальная точка сохраняет свое состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока приложенные силы не заставят ее изменить это состояние. Второй закон (основной закон динамики) устанавливает, как изменяется скорость точки при действии на нее какой-либо силы: произведение массы материальной точки на ускорение, которое она получает под действием данной силы, равно по модулю этой силе, а направление ускорения совпадает с направлением силы
. Третий закон (закон равенства действия и противодействия): Две материальные точки действуют друг на друга с силами, равными по модулю и направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки, в противоположные стороны.1.1.3.2 Задачи динамики
Для свободной материальной точки задачами динамики являются: зная закон движения точки, определить действующую на нее силу; зная действующие на точку силы, определить закон движения точки.
1.1.3.3 Основные виды сил, рассматриваемые в задачах динамики
Сила тяжести. Это постоянная сила
, действующая на любое тело, находящееся вблизи земной поверхности.Под действием силы
тело при свободном падении имеет одно и то же ускорение 
, называемое ускорением свободного падения или ускорением силы тяжести 
. Сила трения. Это сила трения скольжения, модуль которой 
,где N - сила нормального давления; f -коэффициент трения.
Сила тяготения. Это сила, с которой два материальных тела притягиваются друг к другу в соответствии с законом всемирного тяготения.
,где f - гравитационная постоянная (f = 6,673 × 10-3 м3/кг × с2);
т1, т2 - массы материальных точек;
r - расстояние между ними.
Сила упругости. Ее можно определить, исходя из закона Гука, согласно которому напряжение пропорционально деформации. Например, для пружины
,с - коэффициент ее жесткости.
Сила вязкого трения. Это сила, действующая на тело, при его медленном движении в вязкой среде.
,где v - скорость тела; m - коэффициент сопротивления.
Сила аэро-, гидродинамического сопротивления. Сила, тоже зависящая от скорости движения тела в воздухе, воде.
,где r - плотность среды; S - площадь проекции тела на плоскость, перпендикулярную направлению движения; Сх - безразмерный коэффициент сопротивления.
1.1.3.4 Общие теоремы динамики [1, с. 201-219]
Одной из основных динамических характеристик движения точки является количество движения. Количеством движения материальной точки называется векторная величина
, равная произведению массы точки на ее скорость. Для рассмотрения теорем динамики необходимо ввести еще одно понятие - импульс силы. Элементарным импульсом тела называется векторная величина 
, равная произведению силы 
на элементарный промежуток времени dt: 
.Направлен элементарный импульс силы вдоль линии действия силы. Интегрированием этого выражения можно найти импульс силы за конечный промежуток времени t
.Теорема об изменении количества движения точки. Производная по времени от количества движения точки равна сумме действующих на точку сил
.Это, по существу, другой вариант второго закона динамики. Из этого равенства посредством разделения переменных и интегрирования можно получить математическое выражение теоремы об изменении количества движения точки
.Изменение количества движения точки за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов всех действующих на точку сил за тот же промежуток времени.
Эту теорему можно непосредственно использовать при решении задач.
Пример: Точка с массой т = 2 кг движется по окружности с постоянной скоростью v = 4 м/с. Определить импульс действующей на точку силы за время, в течение которого точка проходит четверть окружности.
Решение:
Строя геометрически эту разность, находим из прямоугольного треугольника
.Поскольку по условию задачи
v1 = v0,
кг × м/с.Работа силы. Мощность
Для характеристики действия, оказываемого силой на тело при некотором его перемещении, используют понятие о работе силы. Элементарной работой силы
, приложенной в точке М называется величина (скалярная) 
,где Ft - проекция
на касательную к траектории t;