Основы проектирования и конструирования (стр. 29 из 53)

Однако в реальных задачах возможность оценки эффективности системы по одному критерию является скорее исключением, чем правилом. Многокритериальность реальных задач связана не только с множественностью целей, но и с тем, что одну цель редко удается выразить одним критерием. Это особенно наглядно видно на примере технических систем, где накоплен солидный опыт по оценке их эффективности и качества.

Начнем с того, что еще в 1950 г. немецкий инженер Ф. Кессельринг попытался сформулировать требования, обеспечивающие качество технических объектов. Таких требований в его списке оказалось 700. В дальнейшем список увеличился в 3 раза. Однако не все требования были равнозначны, многие из них противоречили друг другу. Поэтому использовать их в качестве критериев оценки нельзя.

В книге А. Половинкина [14] изложены принципы, которым должны удовлетворять критерии развития техники, приведена их классификация и примеры выбора конкретных критериев в зависимости мости от класса технических объектов.

Учитывая, что каждый критерий характеризует какую-то одну сторону технического объекта (есть критерии функциональные, технические, экономические, эргономические), проблема многокритериальности сохраняет свою актуальность. Существует достаточно много методов оценки эффективности системы по нескольким критериям. Рассмотрим некоторые из них.

6.3.8.1. Методы справедливого компромисса

Пусть система S оценивается по двум критериям q₁ и q₂, изменение которых в зависимости от конструктивных параметров показано на Рис.6.4. Имеется три варианта системы: S (e₁); S (e₂); S (e₃) со значениями критериев q_1i и q_2i, где i - номер варианта системы (i =

). Требуется выбрать лучший вариант системы.

Рис.6.4 Динамика критериев q₁, q₂, характеризующих систему S (ei)

Из Рис.6.4 видно, что вариант S (e₃) явно лучше, чем вариант S (e₁), поскольку q₁₃ > q₁₁ и q₂₃ > q₂₁.

Сложнее сравнить варианты S (e₂) и S (e₃), поскольку S (e₂) лучше по критерию q₁, но хуже, чем S (e₃) по критерию q₂.

Поэтому решение о выборе варианта можно принять только на основе определенного компромисса. Введем понятие относительной уступки по i-му критерию

(6.3)

где q_i⁰ - максимальное значение критерия q_i для сравниваемых вариантов.

Так, при сравнении вариантов S (e₂) и S (e₃) для e₂ максимальным будет q₁, а для e₃ - q₂. Лучшим считается вариант, отказ от которого в пользу другого варианта приведет к наибольшей величине относительной уступки. Такой выбор является вполне естественным, поскольку позволяет меньше потерять за счет снижения величины одного критерия, чем приобретается за счет повышения значения другого критерия.

Разумеется, этот вывод справедлив при условии равнозначности критериев по их важности. Проиллюстрируем использование выражения (6.3) на сравнении вариантов S (e₂) и S (e₃). При отказе от S (e₂) в пользу S (e₃) уменьшается значение q₁.

Соответствующая уступка составляет:

. (6.4)

При отказе от S (e₃) в пользу S (e₂) уменьшается значение критерия q₂, т.е. уступка идет по этому критерию:

. (6.5)

При l₂ > l₁, предпочтение следует отдать варианту S (e₃). Если описанный метод применить для сравнения проектируемой системы с заданным эталоном, то можно оценить степень совершенства этой системы, например, по сравнению с лучшими достижениями мировой практики.

6.3.8.2. Ранжировка системы на основе анализа отношений строгого доминирования

Рассмотрим две системы S₁ и S₂, которые характеризуются соответственно векторами критериев q₁ = (q₁₁, q₁₂... q_1n) и q₂ = (q₂₁, q₂₂... q_2n).

Будем считать, что S₁ строго лучше, чем S₂ (S₁ Ø S₂), если для всех i =

выполняются неравенства q_1i ³ q_2i, причем хотя бы для одного i неравенство является строгим. Отношения, обозначаемые Ø и ¾, называются отношениями строгого доминирования, поскольку они имеют место только в том случае, если одна система превосходит другую по всем критериям.

Использование отношений строгого доминирования в большинстве случаев не решает проблемы многокритериальности. Для иллюстрации вернемся к Рис.6.4. Здесь очевиден вывод, что S₃ Ø S₁, поскольку q₂₃ > q₂₁ и q₁₃ > q₁₁.

Однако между S₁ и S₂, а также между S₂ и S₃ отношения строгого доминирования не существует. Отношения строгого доминирования полезны, поскольку они, во-первых, служат основой для более тонких методов ранжировки, а во-вторых, позволяют сузить круг систем, среди которых ведется поиск лучшей. Так, в данном случае исключается из дальнейшего рассмотрения система S₁.

Остающиеся после исключения S₁ системы S₂ и S₃ образуют множество Парето. Множеством Парето называется такая группа объектов, в которой невозможно, переходя от одного объекта к другому, улучшать значение одного критерия, не ухудшая при этом другого. Множество Парето имеет и ряд других названий: множестве неулучшаемых решений; эффективное множество решения; множество несравнимых решений; область компромиссов [24].

Для объектов, входящих во множество Парето, установить строгое доминирование невозможно, поэтому и приходится применять методы компромиссов.

6.3.8.3. Использование принципа относительного доминирования

Стремление к полной упорядоченности множества систем S_i привело к идее иерархизации критериев по степени важности. Согласно принципу относительного доминирования все критерии разбиваются на группу наиболее важных q₁,... q_t и наименее важных q_t+1,... q_n. Если по всем критериям первой группы система S₁ превосходит систему S₂, то считают, что S₁ лучше, чем S₂, независимо от соотношений критериев второй группы.

В частном случае, когда из множества критериев q_i выбирается один важнейший, мы приходим к оценке систем по главному критерию, т.е. переходим от многокритериальной задачи к однокритериальной.

6.3.8.4. Интегральные критерии эффективности

Трудности оценки систем по набору критериев привели к идее свертывания вектора критериев q = (q₁, q₂,... q_n) в некоторую функцию

, (6.6)

которая может служить оценкой эффективности системы. Критерии q_i в этом случае называют частными критериями эффективности, а функцию E - интегральным критерием эффективности.

Построение интегрального критерия, как в метод оценки по главному критерию, позволяет свести многокритериальную задачу к однокритериальной, но обладает большей гибкостью и точностью за счет возможности учета значимости частных критериев. Последнее обстоятельство является принципиальным и объясняет тот факт, что в большинстве практических случаев проблему многокритериальное решают с помощью интегрального критерия.

Вид функции (6.6) может быть самым различным, но наибольшее распространение получили следующие два:

мультипликативный интегральный критерий

; (6.7)

аддитивный интегральный критерий

, (6.8)

где r_i - весовые коэффициенты, учитывающие важности частных критериев.

Таким образом, r_i определяет степень влияния i-го частного критерия на эффективность системы в целом.

Мультипликативный интегральный критерий обладает следующим свойством: при обращении в нуль хотя бы одного частного критерия и интегральный критерий принимает значение Е = 0. Поэтому использование критерия (6.7) удобно для оценки систем, у которых невыполнение заданных требований по любому частному критерий недопустимо. Например, если система состоит из нескольких последовательно соединенных блоков, то отказ любого из них приводит к отказу всей системы.

Другим достоинством мультипликативного критерия является его нечувствительность к выбору единиц измерения.

Еще одним достоинством мультипликативного критерия является тот факт, что при одинаковых важностях частных критериев, когда r_i = 1 для всех i =

, критерий (6.7) дает ранжировку систем в соответствии с принципом справедливого компромисса. Это легко проиллюстрировать, вернувшись к системам S (e₂) и S (e₃) на Рис.6.4. Интегральные мультипликативные критерии для этих систем при r_i = 1 примут вид

, (6.9)

. (6.10)