Основы проектирования и конструирования (стр. 4 из 53)

1.2.3 Напряжения

Чтобы характеризовать закон распределения внутренних сил по сечению, необходимо ввести для них числовую меру.

За нее принимается напряжение.

Рассмотрим в сечении А элементарную площадку DF в окрестности точки К.

В пределах этой площадки действует внутренняя сила DR (в другой площадке она может быть другой).

Тогда среднее напряжение в пределах площадки DF равно

.

Поскольку среда непрерывна, мы можем уменьшать DF, стягивая ее в точку К. При DF ® 0.

,

[кгс/мм² или МПа, 1 кгс/мм² = 9,81 МПа].

Векторная величина р представляет собой полное напряжение в точке К в сечении А. Полное напряжение может быть разложено на 3 составляющие: по нормали к плоскости сечения и по двум осям в плоскости сечения. Составляющая по нормали s называется нормальным напряжением, составляющие в плоскости сечения t называются касательными напряжениями.

1.2.4 Перемещения и деформации

Абсолютно твердых тел в природе нет. Они обладают упругостью. Поэтому под действием внешних сил точки тела меняют свое положение в пространстве. Вектор, имеющий начало в точке недеформированного тела, а конец - в соответствующей точке деформированного, называется вектором полного перемещения точки. Его проекции на оси координат называются перемещениями по осям (u, v, w). Кроме линейных существуют угловые перемещения.

Если на систему наложены связи, исключающие ее перемещение в пространстве как жесткого целого, система называется кинематически неизменяемой. Именно эти системы изучает сопромат.

Для того, чтобы характеризовать интенсивность изменения формы и размеров тела, рассмотрим точки А и В на теле до и после приложения к нему каких-то сил.

Первоначально расстояние между точками S.

В результате изменения формы тела S увеличилось на DS. Отношение

называют средним удлинением на отрезке S. Приближая В к А, в пределе получим

,

где

- линейная деформация.

Для большинства материалов это малая величина.

Кроме линейной деформации есть и понятие угловой деформации (первоначально прямого угла).

1.2.5 Закон Гука

Закон Гука определяет линейную зависимость между напряжением и деформацией

,

где коэффициент пропорциональности Е является физической характеристикой конструкционного материала и называется модулем упругости (Юнга) первого рода. Он определяется экспериментально.

1.2.6 Растяжение и сжатие

Обычным является растяжение стержня силами Р, приложенными к его концам. Если воспользоваться методом сечений, то становится очевидным, что во всех поперечных сечениях возникают нормальные силы N = P.

Сжатие в обычных случаях отличается от растяжения лишь знаком силы. Естественно предположить, что для однородного стержня внутренние силы распределены по сечению равномерно.

Тогда

или

,

где F - площадь поперечного сечения стержня.

Теперь на основании закона Гука может быть определено и удлинение стержня.

Подставив в уравнение закона Гука значения t и e, получим

, откуда .

1.2.7 Статически неопределимые системы при растяжении и сжатии

Если в системе имеется связей больше, чем необходимо для обеспечения ее равновесия, то для определения внутренних сил в системе уравнений статики оказывается недостаточно. Такие системы называются статически неопределимыми. Раскрытие статической неопределимости возможно только путем составления уравнений, дополняющих число уравнений статики до числа неизвестных. Эти дополнительные уравнения отражают особенности геометрических связей, наложенных на деформируемые системы, и называются уравнениями перемещений. Рассмотрим пример: Прямой однородный стержень жестко закреплен по концам и нагружен продольной силой Р, приложенной на расстоянии одной трети длины от верхней заделки. Величина поперечного сечения стержня F. Требуется определить напряжения, возникающие в стержне. Система статически неопределима, поскольку реакции опор нельзя определить из одного уравнения

.

Уравнение перемещений должно отразить тот факт, что общая длина стержня не меняется. На сколько удлинится верхняя часть, на сколько сократится нижняя.

или

, откуда

.

Решая это уравнение совместно с уравнением равновесия, находим:

, , .

1.2.8 Напряженное и деформированное состояния при растяжении и сжатии

Рассечем стержень, растягиваемый продольными силами, сечением, наклонным по отношению к поперечному под углом a. Полное напряжение на площадке сечения Р.

Равнодействующая внутренних сил в сечении должна быть направлена по оси стержня и равна величине растягивающей силы s F, т.е.

,

где F_a - площадь косого сечения,

.

Таким образом, полное напряжение на наклонной площадке

.

Раскладывая это напряжение по нормали и по касательной к наклонной площадке, находим

, .

Подставив сюда значения р, получим

, .

Следовательно, даже при чистом растяжении в определенном направлении действуют касательные напряжения, и может иметь место сдвиг.

Наблюдения показывают, что удлинение стержня в осевом направлении сопровождается уменьшением его поперечных размеров, т.е. есть и поперечная деформация.

, .

При этом установлено, что в пределах применимости закона Гука поперечная деформация пропорциональна продольной.

,

где m - безразмерный коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом Пуассона.

Это - характеристика свойств материала. Для металлов m = 0,25 ¸ 0,35.

Таким образом, стержень, изображенный на последнем рисунке, вытянется в длину и сузится в поперечном направлении. Стороны прямоугольника АВСD соответственно изменят свою длину, прямоугольник перекосится. Анализируя происшедшую угловую деформацию можно установить величину модуля упругости второго рода или модуля сдвига

.

1.2.9 Испытание материалов на растяжение и сжатие

Для решения практических задач необходимо иметь числовые характеристики ряда прочностных свойств материалов. Поэтому существует целый ряд устройств и методов механических испытаний.

Так, испытание стандартного образца на растяжение позволяет получить диаграмму растяжения. На диаграмме несколько зон:

ОА - зона упругости; здесь материал подчиняется закону Гука;

АВ - зона общей текучести (Р растет мало, а DL непропорционально много); эта зона обнаруживается редко, она мала;

ВС - зона упрочнения; здесь удлинение образца сопровождается возрастанием нагрузки, но на 2 порядка более медленным, чем в зоне упругих деформаций, начинает образовываться шейка - местное сужение образца.