Основы проектирования и конструирования (стр. 6 из 53)
Для кольцевого сечения
, 
.Аналогичные решения существуют для некруглых сечений, но они более сложны.
1.2.13. Геометрические характеристики плоских поперечных сечений стержня
Для решения задач, прежде всего, связанных с изгибом, возникает необходимость оперировать некоторыми геометрическими характеристиками поперечных сечений стержня.
1.2.13.1 Статические моменты
Для некоторого поперечного сечения возьмем интегралы по всей площади сечения
, 
.Первый интеграл называется статическим моментом сечения относительно оси х, второй - относительно оси у. При параллельном переносе осей статический момент меняется на величину, равную произведению площади F на расстояние между осями.
Очевидно, можно подобрать такое положение оси, при котором статический момент относительно этой оси обращается в нуль. Такая ось называется центральной. Точка пересечения центральных осей называется центром тяжести сечения.
1.2.13.2 Моменты инерции сечения
Рассмотрим еще три следующих интеграла
; 
; 
.Первые два интеграла называется осевыми моментами инерции сечения относительно осей х и у. Третий - центробежный момент инерции относительно осей х, у. Минимальный момент инерции получается относительно центральной оси.
Следует отметить еще одно определение: оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, а осевые моменты принимают экстремальные значения, называются главными осями. Осевые моменты инерции относительно главных осей называются главными моментами инерции.
1.2.14. Изгиб
Под изгибом понимается такой вид нагружения, при котором в поперечных сечениях стержня возникают изгибающие моменты. Если изгибающий момент в сечении является единственным силовым фактором, изгиб называется чистым. Однако чаще всего наряду с изгибающими моментами в сечениях возникают и поперечные силы. В этом случае изгиб называют поперечным.
Стержень, работающий в основном на изгиб, часто называют балкой. Для расчета стержня на изгиб необходимо, прежде всего, научиться определять законы изменения внутренних силовых факторов, т.е. научиться строить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил. Рассмотрим пример.
Дана двухшарнирная балка, на которую действует сила Р. Определить ее напряженное состояние. Анализ внутренних сил начинают с определения полной системы внешних сил. В данном случае необходимо определить реакции опор. Из условия равновесия:
; 
; 
; 
.На расстоянии z от левой опоры проведем сечение с и разделим балку мысленно на две части. Для того, чтобы каждая из частей находилась в равновесии, в сечении с необходимо приложить силу Q и момент Мизг.
Для их определения рассмотрим левую часть, как имеющую более простую нагрузку. Сумма моментов сил относительно центральной поперечной оси в сечении с
,отсюда
,т.е. изгибающий момент в сечении является суммой моментов относительно поперечной оси сечения всех сил, расположенных по одну сторону от этого сечения. Меняя z от 0 до а, получим данные для построения эпюры моментов для левой половины балки
.Аналогично для правой части
. 
Эпюра Мизг является кусочно линейной и на всей длине балки расположена сверху (при построении эпюры на сжатых волокнах). Это значит, что ось изогнутой балки, называемая упругой линией, всюду направлена вогнутой стороной вверх, что в данном случае достаточно очевидно.
Определим поперечные силы. Из условия равновесия левой или правой части стержня
или 
.Во всех случаях величина поперечной силы для прямого стержня равна сумме проекций на плоскость сечения всех внешних сил, лежащих по одну сторону от сечения. Другие примеры:
; 
.Мизг достигает максимума при
. 
.1.2.14.1 Напряжения при чистом изгибе
Чистый изгиб - это наиболее простой случай изгиба. Под действием момента М стержень изогнется. Поскольку во всех сечениях М одинаков, изменение кривизны будет одним и тем же, т.е. ось однородного стержня принимает форму дуги окружности. При этом поперечные сечения стержня остаются плоскими и только поворачиваются на некоторый угол. Это утверждение именуется гипотезой плоских сечений.
При изгибе наружные относительно центра кривизны волокна растягиваются, внутренние сжимаются. Следовательно, есть волокна, сохраняющие первоначальную длину. Геометрическое место точек, удовлетворяющих условию e = 0 и, соответственно, s = 0 называется нейтральной линией сечения. Нормальные напряжения в сечении меняются от smax до smin.
Для волокна, расположенного на расстоянии у от нейтральной линии
.На наиболее удаленных поверхностях
.Отношение
называется моментом сопротивления сечения при изгибе Wx. Таким образом, 
.Для стержня прямоугольного сечения со сторонами b и h
, 
, 
.Для стержня круглого сечения
, 
, 
.Нетрудно догадаться, что наиболее удаленные от нейтральной линии слои сечения более нагружены. Поэтому с целью рационального использования металла эти части стержня, работающего на изгиб, должны быть шире. Отсюда - появление таких профилей, как швеллер, тавр, двутавр, рельс и т.д.
1.2.14.2 Напряжения при поперечном изгибе
При чистом изгибе возникают только нормальные напряжения в поперечных сечениях. Наличие же поперечных сил вызывает появление касательных напряжений в плоскости сечения, что сопровождается появлением угловых деформаций g.
Величина касательных напряжений может быть определена по формуле Журавского
,где Q - поперечная сила;
Sx* - статический момент относительно оси х части площади, расположенной выше продольного сечения, проведенного на расстоянии у от оси х (Меняя у, можно найти t по всему сечению. На наружных поверхностях Sx* = 0, поскольку площадь сечения выше
равна нулю. Следовательно t = 0);Jx - момент инерции сечения относительно оси х;
b - ширина сечения.
1.2.15. Прочность при циклически изменяющихся напряжениях
Есть детали (вагонная ось, долото пневмомолотка) у которых нагрузка меняется с каждым оборотом, тактом. Это приводит к усталостным разрушениям. Такая нагрузка называется циклической. Если нагрузка за один цикл меняется от smax до smin, то
.