Основы теории и технологии контактной точечной сварки (стр. 28 из 44)
Согласно решению данной задачи Ляме [223] компоненты напряжений в сферических полярных координатах определяются зависимостями:
, 
,где σr, и σθ, σφ — радиальное и окружные напряжения; Р — давление в полости, b0 — наружный радиус сферы; а — радиус полости.
Р. Хилл [224], применив условие пластичности Треска – Сен-Венана
, (3.52)где σТ — предел текучести, распространил это решение на случай упругопластического деформирования внутренним давлением толстостенной сферической оболочки. Согласно этому решению распределение напряжений в толстостенной сферической оболочке при упругопластическом ее деформировании внутренним давлением Р (слева на рис. 3.24) описывается следующими зависимостями: в упругой области, при c ≤ r ≤ b0
, (3.53)в пластической области, при а ≤ r < с
, (3.54)где a — радиус полости; b0 — наружный радиус сферы; с — радиус границы пластической области.
В упругой области оба компонента напряжения уменьшаются с увеличением координаты r. В области пластических деформаций с увеличением r радиальное напряжение уменьшается по величине, тогда как, по условию пластичности, окружное напряжение увеличивается. Максимальное значение окружного напряжения достигается на границе пластического и упругого состояний металла (радиус с). Аналогичный характер изменения напряжений по координате r получен при решении подобной задачи и в работе [225].
Экспериментально установлено (см. п. 2.5.2), что на стадии нагрева максимальные относительные пластические деформации свариваемых деталей по координате r, достигающие 15 %, локализованы в области контура сварочного контакта, диаметром dПt, и в узком поясе (шириной
≤ 0,05...0,15 dПt) вокруг него. Упругие же радиальные деформации свариваемых деталей вне этой зоны незначительны, и поэтому ими можно пренебречь. Тогда процесс деформации металла в зоне формирования соединения при контактной точечной сварке можно уподобить процессу деформации металла сферической оболочки с бесконечно толстыми стенками,
т. е. при b0 → ∞ (справа на рис 3.24).
Так как металл, выдавливаемый в зазор деталь–деталь, при несвободном расширении в площади уплотняющего пояска, шириной 
, преодолевает силу реакции противоположной детали, то можно предложить, что он находится в объемно-сжатом напряженном состоянии аналогично металлу зоны а — д при деформации сферической оболочки. При сварке давление в ядре и напряжения в уплотняющем пояске стремятся раздвинуть свариваемые детали аналогично тому, как и давление в полости сферы и напряжения в зоне объемно-сжатого металла а — д при деформировании сферической оболочки. При деформировании сферической оболочки разъединению полусфер препятствует металл с растягивающими окружными σθ напряжениями при r > c, в процессе же сварки разъединению деталей препятствует усилие сжатия электродов FЭ. Поскольку ядро в плоскости свариваемых деталей имеет форму круга, в плоскости оси электродов — эллипса, а пластические деформации металла локализованы в области уплотняющего пояска, то можно допустить, что характер напряженного состояния пластически деформируемого металла в приконтактной области уплотняющего пояска подобен характеру напряженного состояния металла в объемно-сжатой зоне а — д при деформировании сферической оболочки с бесконечно толстой стенкой.
Поэтому процесс деформации металла в зоне сварки на стадии роста ядра можно приближенно уподобить процессу деформации при расширении сферической полости в оболочке с бесконечно толстыми стенками, если оболочку мысленно рассечь по диаметральной плоскости, и сумму растягивающих окружных напряжений σθ, при r > д заменить усилием сжатия электродов, т. е. принять, что:
. (3.55)
Таким образом, определить давление Р в ядре можно, решая задачу только в пластической области, так как упругие деформации влияния на его величину практически не оказывают. При этом контуром уплотняющего пояска можно считать границу металла при деформировании сферической оболочки, находящегося в объемно-сжатом состоянии.
Тогда изменение напряжений по координате r в пластической области (а ≤ r < с) при b0 → ∞, согласно зависимостям (3.54) можно описать следующим образом:
. (3.56)Более точные результаты, по мнению ряда исследователей [220, 225], получаются при использовании условия пластичности не Треска – Сен-Венана (3.52), а Губера – Мизеса (3.45).
При высоких скоростях деформации и высокой температуре деформируемого металла, что имеет место при точечной сварке, «деформируемость» металла точнее характеризуется не пределом текучести σТ, а сопротивлением пластической деформации σД металла с учетом процессов его упрочнения и разупрочнения [226]. Поэтому для условий пластической деформации металла при точечной сварке предел текучести σТ в условии пластичности (3.45) рационально заменить сопротивлением пластической деформации σД . Тогда давление в полости сферической оболочки, которое равно радиальному напряжению металла на поверхности полости, но с обратным знаком, необходимое для осуществления пластического течения металла до радиуса с, по зависимости (3.56) можно рассчитать следующим образом:
. (3.57)Координату пластической области с можно выразить через координату д границы объемно-сжатого металла из зависимостей (3.56), так как при r = д окружные напряжения σθ = 0. После преобразований получаем следующее соотношение с и д:
. (3.58)Согласно принятой модели можно записать следующее соотношение координат элементов сферической оболочки и зоны сварки: д = dПt /2, а
а = dЯt /2. Причем, значение координаты области пластических деформаций, выраженной зависимостью (3.58), практически совпадает с координатой, полученной при экспериментальных исследованиях пластических деформаций металла в зоне формирования соединения при КТС (см. п. 2.5.2).
С учетом сказанного выше зависимость (3.57) для расчета давления расплавленного металла в ядре РЯt в любой момент времени t процесса формирования соединений при КТС можно преобразовать к следующему окончательному виду:
, (3.59)где для момента времени t, РЯt – давление расплавленного металла в ядре; σДt –сопротивление пластической деформации металла в области уплотняющего пояска; dЯt и dПt – диаметры, соответственно, ядра и уплотняющего пояска.
Из формулы (3.59) следует, что давление расплавленного металла в ядре прямо пропорционально сопротивлению пластической деформации металла и логарифму отношения диаметра уплотняющего пояска к диаметру ядра. Поэтому давление расплавленного металла в ядре в процессе его формирования может только уменьшаться, поскольку всегда уменьшается как сопротивление деформации металла σДt, так и отношение dПt/dЯt. Очевидно, что при при уменьшении ширины уплотняющего пояска, то есть разности
, давление в ядре, как средние значения напряжений σСРt, стремятся к минимальному значению: 
.Проверить точность расчетной методики прямым измерением давления расплавленного металла в ядре пока не представляется возможным. Поэтому экспериментальную оценку точности зависимостей для расчета давления в ядре РЯt (3.59) и средних значений нормальных напряжений σСРt (3.51) производили косвенно. Такую экспериментальную оценку, пример которой показан на рис. 3.25, осуществляли следующим образом.
Сваривали образцы деталей, последовательно прерывая процесс сварки на различных его стадиях (через 0,02 с). При этом для моментов прерывания измеряли текущие значения (показаны круглыми точками) диаметров уплотняющего пояска (свариваемого контакта) dП и ядра dЯ (после начала плавления металла). По ним определяли экспериментальные значения среднего давления по площади свариваемого контакта 
— 
(показаны треугольными точками). Кроме того, для этих же моментов процесса сварки, используя измеренные значения dЯ и dП, рассчитывали РЯ и σСР по зависимостям (3.59) и (3.51), а также значения среднего давления по площади свариваемого контакта 
по зависимости: 
(значения сопротивления деформации металла σДt в зависимостях (3.59) и (3.51) определяли по методике, описанной ниже в разделе 3.5).