Повышение надежности и долговечности работы манжетных уплотнений валов автомобилей ВАЗ (стр. 7 из 14)
где y, t– неизвестные.
Анализируя систему нелинейных уравнений, можно прейти к выводу, что при отыскании ее решений может получиться несколько ответов, поскольку во втором уравнении системы присутствует периодическая тригонометрическая функция sin(см. рис. 4.7).
Для нахождения всех элементов матрицы, характеризующей развертку геометрии обработанной поверхности, систему уравнений 4.9 представится в следующем виде:
,(4.10)где
– параметр уравнения, вводимый из-за неравенства углов a1 и a2; 
– амплитуда колебания, мм. 
Рис. 4.7. Графическое решение системы 4.9 при: X=10 мм, Y=25 мм, n=20 об/с, w=50 Гц, a=5 град, D=2 мм, NF=0 рад
Для расчета координаты рассматриваемой точки используем выражение:
,(4.11)где i, j – индексы элементов матрицы.
Значение у непосредственно влияет на глубину внедрения индентора. Поэтому координату z обрабатываемой точки (см. рис. 4.8) можно определить из следующего выражения:
(4.12)Учитывая то обстоятельство, что в процессе обработки, каждая точка может обработаться не один, а несколько раз (данное высказывание следует из того, что нелинейная система уравнений 4.9 имеет несколько корней (см рис. 4.7) необходимо найти максимальное внедрение инструмента в обрабатываемую поверхность детали, подходя к этой задаче с математической точки зрения необходимо найти минимальные значения zi,j, так как они и будут формировать геометрию детали после обработки.
Рис. 4.8. Схема для вывода формулы 4.12
4.1.1 Алгоритм решения систем нелинейных уравнений численным методом
В повседневной жизни мы часто сталкиваемся со всякого рода колебательными процессами. При составлении их математических моделей в целях упрощения используется уравнение гармонических колебаний вида: y= S+Asin(wt+j) или y= S+Acos(wt+j). Система, описанная одним из этих уравнений, может находиться во взаимодействии с другой системой, но при этом даже если система описана линейным уравнением вида: y = k x+b, – возникают сложности при решении систем уравнений:
Существует множество различных пакетов прикладных программ, предназначенных для проведения математических и научно-технических расчетов. Прежде всего к ним следует отнести такие программы как Mathematica, MatLab, Maple, MathCad и др., но каждая из этих программ при решении систем нелинейных уравнений использует уже введенный разработчиками алгоритм, который сводится к использованию метода итерации, то есть нахождению решения с помощью последовательного приближения. Но такие встроенные алгоритмы универсальны и рассчитаны прежде всего на большой спектр разновидностей систем уравнений, носящих как линейный так и нелинейный характер, что замедляет их быстродействие и затрудняет их применение при громоздких циклических вычислениях. К недостатку также можно отнести и тот факт, что данные алгоритмы не всегда дают достоверный ответ, из-за универсальности их практически невозможно применять в некоторых частных случаях, о чем свидетельствует ряд проделанных расчетов в MathCad и MatLab.
В случае достаточно громоздких вычислений такая процедура занимает относительно много времени. Поэтому был разработан специальный алгоритм, позволяющий находить решение системы нелинейных уравнений с заданной точностью. Суть расчета заключается в постепенном приближении к истинному значению у методом итерации при изменении времени t. Структура данного алгоритма состоит из следующих этапов:
1. Определение значения параметра t уравнения, с которого начинается итерация (tнач=–b/k, с) и области определения решения системы уравнения:
tлев = (S-A-b)/k-1/(20×w), с;
tправ = (S+A-b)/k+1/(20×w),с (см. рис. 4.9).
Значение равное 1/(20×w) (первоначальный шаг итерации)добавлено для расширения границ области поиска решения.
Рис. 4.9. Пояснительная схема к первому этапу итерации
3. Расчет вспомогательного коэффициента K при проверки выполнения условия: у1(tнач)>у2(tнач), см. рис. 4.10.
Рис. 4.10. Пояснительная схема к определению вспомогательного коэффициента К
4. Расчет начальной разности значений: ïу1(tнач)–у2(tнач)ï.
4. Определение первоначального шага итерации (dt=1/(20w)) и приравнивание к текущему значению параметра t=tнач.
5. Нахождение значения у методом итерации в двух направлениях:
5.1. Проведение итерации в направлении оси абсцисс (см. рис. 4.11): идет приращение параметра t=t+dt (первоначально t=tнач).
Рис. 4.11. Итерация в направлении оси абсцисс
Как видно из рис. 4.12 при первоначальном значении времени tне выполняется условиеy2>y1, то есть K=1. Приращение к параметру t идет до тех пор, пока не выполнится условие К×(y1–y2)<0, что означает переход через точку пересечения графиков. Далее совершаются следующие операции: t=t-dt, dt=dt/2 и проверяется условие:
, где Dy – точность расчета корней. Если последнее условие выполняется итерация прекращается и запоминается временное значение yврем1=y2 и tврем1 = t, в противном случае итерация продолжается с измененным значением dt (см. рис. 4.12). При этом необходимо следить чтобы значение параметра t не вышло за пределы[tлев, tправ]. 
Рис. 4.12. Порядок проведения итерации
5.2. Проведение итерации в противоположном направлении оси абсцисс (см. рис. 4.13): идет уменьшение параметра t=t-dt (первоначально t=tнач). При этом совершаются действия аналогичные, описанным на этапе 5.1. для отыскания решения системы уравнений.
Рис. 4.13. Итерация в противоположном направлении оси абсцисс
6. Выбор необходимого решения из решений полученных на этпах. 5.1. и 5.2. путем отыскания из них решения с наименьшим значением y.
Таким образом, алгоритм программы обладает своего рода элементами искусственного интеллекта:
1) выбор начального шага итерации в блоках 9, 18 блок схемы (см. этап 4 вышеприведенного алгоритма);
2) выбор оптимального значения параметра t на начальном этапе итерации в блоках 9, 18 блок схемы;
4) мониторинг процесса итерации в целях предотвращения поиска решения за пределами области возможных решений системы нелинейных уравнений.
4) Изменение шага в процессе итерации для ускорения поиска решения.
По данному алгоритма была разработана блок схема и по которой написана программа на Delphi (см. приложение).
На базе данного алгоритма можно создавать алгоритмы для решения и других видов систем нелинейных уравнений, которые нельзя решить аналитически.
4.1.2 Алгоритм для расчета нескольких оборотов детали
В пункте 4.1 была представлена математическая модель для расчета геометрии поверхности, обработанной детали ППД по схеме, представленной на рис. 1.24. Но при расчетах был учтен только один оборот детали (один цикл нагружения), а этого может быть недостаточно для придания готовому изделию необходимых геометрических характеристик и физико-механических свойств. Поэтому необходимо усовершенствовать алгоритм расчета для того, чтобы он позволял рассчитать геометрию поверхности детали и после нескольких циклов нагружения.
Для того, чтобы рассчитать геометрию детали не при первом, а при втором и последующих циклах нагружения необходимо для расчета координаты рассматриваемой точки использовать выражение:
,(4.13)где pD – длина окружности обрабатываемой детали, мм; Nцикла – число совершенных оборотов.
После второго оборота детали необходимо из двух рассчитанных матриц создать новую, которая состояла бы из элементов с минимальными значениями, то есть:
,(4.14)где
– значение элемента матрицы, полученное после двух циклов нагружения, мм; 
– значение элемента матрицы, полученное на первом обороте детали, мм; 
– значение элемента матрицы, полученное на втором обороте детали, мм;