Построение траектории Броуновского движения (стр. 2 из 4)

Надо сказать, что у Броуна не было каких-то новейших микроскопов. В своей статье он специально подчеркивает, что у него были обычные двояковыпуклые линзы, которыми он пользовался в течение нескольких лет. И далее пишет: «В ходе всего исследования я продолжал использовать те же линзы, с которыми начал работу, чтобы придать больше убедительности моим утверждениям и чтобы сделать их как можно более доступными для обычных наблюдений».

Сейчас чтобы повторить наблюдение Броуна достаточно иметь не очень сильный микроскоп и рассмотреть с его помощью дым в зачерненной коробочке, освещенный через боковое отверстие лучом интенсивного света. В газе явление проявляется значительно ярче, чем в жидкости: видны рассеивающие свет маленькие клочки пепла или сажи (в зависимости от источника дыма), которые непрерывно скачут туда и сюда.

Норберт Винер в 1923 году построил первую удовлетворительную с математической точки зрения модель выборочных реализаций и доказал их «почти наверное» (на языке теории вероятностей) непрерывность.

Простейшей дискретной аппроксимацией броуновского движения служит случайное одномерное блуждание. В этом случае частица первоначально располагается в точке х0 = 0 на прямой. Частица совершает единичный шаг вправо или влево в зависимости от случайного выбора, например, бросания монеты. Случайное блуждание происходит итеративно. Для каждого п = 1,2,3,….положим, что

хn = хn-1 ± 1.

Более точным приближением к реальному броуновскому движению является замена шагов ±1 случайными величинами gп, имеющими гауссовское, или нормальное распределение. После первого шага частица находится в положении

0 + g1, а после n шагов в положении

На рис.5. изображена типичная реализация гауссовского случайного блуждания.

Рис.5. График гауссовского случайного блуждания

Случайная величина X называется гауссовской, или нормальной с математическим ожиданием µ и дисперсией σ2, если она распределена, но закону:

то есть её плотность вероятности f(x) имеет вид:

График y=f(x) напоминает колокол рис.6. В наших приложениях математическое ожидание

обычно равно нулю.

Гауссовское случайное блуждание легко реализуется на компьютере. Единственная сложность― необходим генератор гауссовских случайных чисел. Если имеется генератор, равномерно распределённый на отрезке [0,1] случайных чисел, то вполне приемлемое приближение можно получить, используя формулу:

Можно использовать и более общую формулу:

0,8
0,6
	0,4
0,2

0
	-0,2
-0,4
	-0,6
-0,8
	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4

Рис.6. Нормированная гауссовская кривая

3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Что касается броуновского движения, определенного на конечном интервале, например, на отрезке [а, Ь]. Приведенное ниже определение позволяет сфокусировать внимание на его принципиальных свойствах. Большинство утверждений о броуновском движении относится к одномерному случаю, но имеет соответствующие аналоги для случая двух и большего числа измерений. Прежде всего, нам понадобится определение гауссовского случайного процесса.

Случайный процесс X{t) называется гауссовским, если для каждого конечного набора моментов времени t1, t2, …, tnвектор ( X(t1), X(t2),… , X(tn)) имеет гауссовское распределение. Двумерный гауссовский процесс Х(х; у) определяется аналогично.

Определение: Гауссовский процесс X(t) называется одномерным броуновским движением, или винеровским процессом на интервале [а, Ь], если он обладает следующими свойствами

Х(0) = 0 и функция X(t) почти всегда непрерывна.

Свойство гауссовости приращений: случайная величина

имеет гауссовское распределение с математическим ожиданием

и дисперсией

где σ — положительная константа, то есть

P(ΔX<x)=

Броуновское движение, как и любой процесс с независимыми приращениями, есть Марковский процесс. Это означает, что условная вероятность события «Х(t2) достигает определённого значения при данном значении Х(t1)», где t1>t2, зависит только от t1 и t2. Эта вероятность не зависит от поведения Х(t), при t<t1, то есть в процессе случайного блуждания каждый шаг делается без какой-либо информации о том, каким образом процесс достиг текущего значения.

Условная вероятность события А при заданном событии В обозначается P(A/B). Формальное определение Марковского процесса:

Где

4. ПРОГРАММИРОВАНИЕ НА DELPH I

Delphi обусловлен как тем, что это наиболее популярная среда программирования, так и объективными несомненными достоинствами.

Среди них:

простой и мощный язык программирования Pascal;

удобная и полная объектная модель;

достаточно удобная среда разработки;

обширная объектная библиотека VCL;

мощные средства разработки приложений баз данных.

Delphi – это потомок среды программирования TurboPascal. Система визуального объектно-ориентированного проектирования Delphi позволяет:

Создавать законченные приложения для Windows самой различной направленности.

Быстро создавать профессионально выглядящий оконный интерфейс для любых приложений; интерфейс удовлетворяет всем требованиям Windows и автоматически настраивается на ту систему, которая установлена, поскольку использует функции, процедуры и библиотеки Windows.

Создавать свои динамически присоединяемые библиотеки компонентов, форм, функций, которые потом можно использовать из других языков программирования.

Создавать мощные системы работы с базами данных любых типов.

Формировать и печатать сложные отчеты, включающие таблицы, графики и т.п.

Создавать справочные системы, как для своих приложений, так и для любых других.

Создавать профессиональные программы установки для приложений Windows, учитывающие всю специфику и все требования операционной системы.

Интегрированная среда разработки Delphi – это среда, в которой есть все необходимое для проектирования, запуска и тестирования создаваемых приложений. Именно поэтому, учитывая особенности и характеристики данной среды, для написания программ, я выбрала Delphi.

Общее описание среды

Верхней части окна среды отображается полоса главного меню. Назначение каждого пункта меню можно уточнить в справочной системе Delphi. Для получения справки следует выбрать интересующий пункт меню и нажать клавишу F1. Выбор команды меню выполняется любым из стандартных способов: F10, Alt+горячая клавиша или щелчком мыши на нужном пункте меню.

Назначение команд меню представлены в таблице:

Раздел меню	Назначение
1) Меню File (Файл)	Разделы меню позволяют создавать новый проект, новую форму, открыть ранее созданный проект или форму, сохранить проекты или форму в файлах с заданными именами.
2) Меню Edit (Правка)	Разделы этого меню позволяют выполнять обычные для приложений Windows операции с буфером обмена, а также дают возможность выравнивать группы размещенных на форме компонентов по размерам и местоположению.
3) Меню Search (Поиск)	Разделы этого меню позволяют осуществлять поиск фрагментов текста, ошибок, объектов, модулей, переменных и символов в редакторе кода.
4) Меню View (Вид)	Разделы этого меню позволяют вывести на экран или скрыть различные элементы среды проектирования и открыть окна, связанные с интегрированным отладчиком.
5) Меню Project (Проект)	Разделы меню позволяют добавлять и удалять из проекта формы, задавать опции проекта, компилировать проект без его выполнения, дать информацию о размерах приложения.
6) Меню Run (Выполнить)	Предоставляет возможность выполнять проект в нормальном или отладочном режимах, по шагам, останавливаясь в указанных точках, просматривая значения переменных и т.д.
7) Меню Component (Компонент)	Содержит раскрывающееся меню, которое позволяет работать с компонентами: создавать новые компоненты, изменять палитру компонентов и т.п.
8) Меню Database (База данных)	Раздел меню позволяет использовать инструментарий для работы с базами данных.
9) Меню Tools (Сервис)	Включает ряд разделов, позволяющих выполнять различные вспомогательные программы: редактор изображений, программы, конфигурирующие базы данных и сети и т.п.
10) Меню Windows (Окно)	Содержит список открытых окон среды и предоставляет возможность перехода из одного окна в другое.
11) Меню Help (Помощь)	Содержит разделы, помогающие работать со справочной системой среды программирования Delphi.

1. Палитра компонентов Standard (Стандартная)	Большинство компонентов на этой странице являются аналогами экранных элементов операционной системы Windows: меню, кнопки, полосы прокрутки, панели и т.п. Имена компонентов можно узнать из всплывающей подсказки. Назначение компонентов можно уточнить, используя систему контекстной справки Delphi.
2. Палитра компонентов Additional (Дополнительная)	Содержит более развитые компоненты: а) воспроизведение звука, музыки и видео; б) отображение графической информации.
3. Палитра компонентов System (Системная)	Предоставляет возможность объединять отдельные элементы, такие как списки каталогов и файлов, а также генерировать события через определенные промежутки времени.
4. Палитра компонентов Win32	Содержит компоненты, позволяющие созданным программам использовать интерфейс Windows.
5. Палитра компонентов Dialogs (Диалоговая)	Содержит стандартные диалоговые окна для операций над файлами, поиска и замены текста, выбор шрифтов, цветов и т.д.
6. Палитра компонентов DataAccess, DataControls (Сервис баз данных)	Использует механизм баз данных для организации доступа к файлам баз данных различных форматов.
7. Палитра компонентов QReport (Отчеты)	Предоставляет компоненты для визуального проектирования отчетов баз данных.
8. Палитра компонентов Servers (Сервис)	Предоставляет компоненты-наследники для доступа ко всем серверным объектам MicrosoftOffice.
9. Палитра компонентов Samples (Примеры)	Содержит компоненты-примеры, которые можно добавлять в собственные приложения.
10. Палитра компонентов Internet	Предоставляет компоненты для разработки приложений, позволяющих создавать HTML‑файлы непосредственно из файлов баз данных и других типов, взаимодействующих с другими приложениями для Интернета.

Ниже полосы главного меню расположены две инструментальные панели. Левая панель (состоящая, в свою очередь, из трех панелей) содержит два ряда кнопок, дублирующих некоторые наиболее часто используемые команды меню (открыть, сохранить, сохранить все и т.д.). Правая панель содержит панель библиотеки визуальных компонентов (или палитра). Палитра компонентов содержит ряд страниц, закладки которых видны в ее верхней части. Страницы сгруппированы в соответствии с их смыслом и назначением. Поскольку число предоставляемых компонентов растет от версии к версии, то остановимся на основных (12 страниц).