Построение траектории Броуновского движения (стр. 1 из 4)

Для того чтобы раскрыть суть броуновского движения необходимо иметь понятие о хаосе и фракталах. Ведь броуновское движение, яркий пример фрактала, который впервые наблюдал в 19 веке шотландский ботаник Роберт Браун. Он же в 1827 году должным образом описал наблюдаемый эффект.

Какими же инструментами располагает теория хаоса? В первую очередь это фракталы.

Мандельброт ввел в употребление термин фрактал, основываясь на теории фрактальной (дробной) размерности Хауодорфа предложенной в 1919 году. Он отыскал нишу для имевших дурную репутацию множеств Кантора, кривых Пеано, функций Вейерштрасса и их многочисленных разновидностей, которые считались нонсенсом. Он и его ученики открыли много новых фракталов, например, фрактальное броуновское движение

Траектории частиц броуновского движения, которым занимались Роберт Броун еще в 1828 году и Альберт Эйнштейн в 1905 году, представляют собой пример фрактальных кривых, хотя их математическое описание было дано только в 1923 году Норбертом Винером. В 1890 году Пеано сконструировал свою знаменитую кривую.

Но в тоже время, как это часто случается в так называемой новой математике, открытия опираются на работы великих математиков прошлого. Исаак Ньютон понимал это, говоря «Если я и видел дальше других, то только потому, что стоял на плечах гигантов».

Изучение фракталов и хаоса открывает замечательные возможности, как в исследовании бесконечного числа приложений, так и в области чистой математики, именно поэтому, этот факт является целью написания данной работы. Здесь описывается суть броуновского движения и траектории, особенности открытия этого явления, определение (с точки зрения теории вероятности) и примеры программирования, что в свою очередь, говорит о возможности применения данного «хаоса» в различных приложениях.

1. СЛУЧАЙНЫЕ ФРАКТАЛЫ

Фрактальные объекты повсеместно встречаются в природе. Это модели снежинок, деревьев, кустов, листьев и тому подобных объектов. Однако фракталы, получаемые с помощью L-систем или СИФ, обладают одним явным недостатком, ограничивающим их применение для моделирования естественных объектов. Они детерминированы.

Построение этих фракталов не сводится к случайным возмущениям детерминированных фракталов. Напротив, случайный характер присущ им изначально, что связано со случайными процессами.

Основной моделью является фрактальное броуновское движение – случайный процесс, широко распространенный в природе.

Некоторые примеры фракталов:

1.1 Снежинка Коха

Снежинка Коха представляет собой линию бесконечной длины, ограничивающую конечную площадь, которая в 1.6 раза больше площади образующего ее треугольника.

Пример построения этого фрактала изображен ниже на рис.1.

Рис.1.Снежинка Коха

1.2 Салфетка Серпинского

Три первых шага в построении этого фрактала изображены на рис.2, а сам фрактал — на рис.3.

Число треугольных пар все меньшего и меньшего масштаба в нем бесконечно. Число черных треугольников в этом построении растет как 3n, где n — номер шага, а длина их стороны уменьшается как 2–n. Легко показать, что площадь белых пятен равна площади исходного треугольника.

Рис.2 Построение салфетки Серпинского

Рис.3. Салфетка Серпинского

1.3 Броуновское движение

Рассмотренные выше примеры фракталов относятся к так называемым точным фракталам или детерминистическим. Они все построены по вполне определенному геометрическому правилу. Помимо точных фракталов, существуют еще так называемые случайные фракталы. В расположении их элементов есть некоторая доля случайности. Простейшим случайным фракталом является траектория частицы, совершающей броуновское движение — рис.4. И хотя сама траектория имеет очень сложный извилистый характер, определить ее фрактальную размерность очень просто. Для этого заметим, что если частица продиффундировала на расстояние R, то среднее число "шагов", которое она сделала, где l — характерная длина одного шага.

Поэтому:

Рис. 4. Траектория движения броуновской частицы.

Это значит, что характерный размер диффузионной траектории на заданной площади пропорционален величине этой площади. То есть траектория на плоскости является достаточно густой. Это, впрочем, не означает конечности площади, заметаемой самой диффузионной кривой, из-за множества самопересечений. Можно показать, что для двумерного броуновского движения вероятность возвращения в любую, сколь угодно малую окрестность произвольно выбранной точки, равна 1. В случае же диффузии в трехмерном пространстве траектория броуновской частицы является, напротив, очень рыхлой (ее фрактальная размерность по-прежнему равна 2) и не заполняет всего предоставленного ей объема. В этом случае вероятность возврата оказывается меньше единицы.

2. СУТЬ БРОУНОВСКОГО ДВИЖЕНИЯ

Начало исследования броуновского движения датируется 1827 годом, когда шотландский ботаник Роберт Броун обнаружил, что мелкие частицы, взвешенные в жидкости, совершают беспорядочное непрерывное движение, которое было названо в честь своего открывателя. В 1905 году Альберт Эйнштейн объяснил это движение хаотическими столкновениями с молекулами окружающей среды.

Шотландский ботаник Роберт Броун (иногда его фамилию транскрибируют как Браун) еще при жизни как лучший знаток растений получил титул «князя ботаников». Он сделал много замечательных открытий. В 1827 Броун проводил исследования пыльцы растений. Он, в частности, интересовался, как пыльца участвует в процессе оплодотворения. Как-то он разглядывал под микроскопом выделенные из клеток пыльцы североамериканского растения Clarkia pulchella (кларкии хорошенькой) взвешенные в воде удлиненные цитоплазматические зерна. Неожиданно Броун увидел, что мельчайшие твердые крупинки, которые едва можно было разглядеть в капле воды, непрерывно дрожат и передвигаются с места на место. Он установил, что эти движения, по его словам, «не связаны ни с потоками в жидкости, ни с ее постепенным испарением, а присущи самим частичкам». Наблюдение Броуна подтвердили другие ученые. Мельчайшие частички вели себя, как живые, причем «танец» частиц ускорялся с повышением температуры и с уменьшением размера частиц и явно замедлялся при замене воды более вязкой средой. Это удивительное явление никогда не прекращалось: его можно было наблюдать сколь угодно долго. Поначалу Броун подумал даже, что в поле микроскопа действительно попали живые существа, тем более что пыльца – это мужские половые клетки растений, однако так же вели частички из мертвых растений, даже из засушенных за сто лет до этого в гербариях. Тогда Броун подумал, не есть ли это «элементарные молекулы живых существ», о которых говорил знаменитый французский естествоиспытатель Жорж Бюффон. Это предположение отпало, когда Броун начал исследовать явно неживые объекты; сначала это были очень мелкие частички угля, а также сажи и пыли лондонского воздуха, затем тонко растертые неорганические вещества: стекло, множество различных минералов. «Активные молекулы» оказались повсюду: «В каждом минерале, – писал Броун, – который мне удавалось измельчить в пыль до такой степени, чтобы она могла в течение какого-то времени быть взвешенной в воде, я находил, в больших или меньших количествах, эти молекулы».