Предельное равновесие балок и рам (стр. 3 из 5)
q
L L
a qu bMu 
A B C 
DD1 MuD1
zL a+b
Cхема перехода в предельное состояние
Рис. 6
Балка исчерпает свою несущую способность в том случае, когда в ней появятся два пластических шарнира. Один пластический шарнир возникнет на средней опоре, другой в пролёте под нагрузкой. Положение пластического шарнира в пролёте нам пока неизвестно и мы зададим его безразмерной координатой z(0<z<1). Записывая уравнение работ, учтём, что работа равномерно распределённой нагрузки равняется произведению интенсивности нагрузки на площадь фигуры, лежащей под нагрузкой и образованной первоначальным положением оси балки и звеньями механизма, образовавшегося в результате появления пластических шарниров. В нашем случае интенсивность нужно умножить на площадь треугольника ABD1 (Рис. 6). Таким образом, уравнение работ будет выглядеть:
½ qu× DD1×L – Mu( a+b)- Mu ×b = 0; a= DD1/ zL; b = DD1/ ( L(1-z)).
Выражая отсюда qu, получим:
2Mu (1 + z)
qu = ¾¾¾¾¾¾¾ (a)
L2z (1 -z)
Разным значениям z , т.е. разным положениям пластического шарнира, будут соответствовать разные значения предельной нагрузки qu. Воспользуемся кинематическим экстремальным принципом. Истинному положению пластического шарнира, а, следовательно, истинной предельной нагрузке соответствует минимум выражения (а).
dq / dz = 0 и 2Mu / L2¹ 0 Þ
z-z2-(1+z)(1-2z)
¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾¾ = 0,
[ z(1-z) ] 2
Приравнивая числитель нулю, получим квадратное уравнение
z2+z-1=0,
корни которого равны: z1,2 = - 1 ±Ö 2; z1 = Ö 2 - 1 » 0,414, второй корень не имеет смысла. Подставляя найденное значение z1 в выражение (а), окончательно получим: qu = 11,66 Mu / L2 .
Пример 4. Статически неопределимая однопролётная балка (Рис.7) загружена двумя силами F и 2F. Найти предельное значение F.
Балка исчерпает несущую способность при образовании двух пластических шарниров. Один из них появится в заделке, а другой под одной из сил. Возможны варианты: схема а) - пластический шарнир под силой F, схема б) - под силой 2F (Рис. 7).
Рассмотрим первый случай. Уравнение работ запишется:
2Fu×BB1 + Fu×CC1- Mua- Mu ( a + b ) = 0; учтём: BB1 = (2/3)CC1;
a = CC1/ 3L; b = CC1 /L , тогда: Fu = 5Mu / 7L » 0,714Mu / L.
Второй случай нам даст:
2Fu×BB1 + Fu×CC1- Muj- Mu×2j = 0; CC1 = ½BB1 ; j = BB1 / 2L Þ
Fu = 3Mu / 5L = 0,6Mu / L .
Очевидно, что согласно кинематическому экстремальному приципу, реальной будет схема перехода в предельное состояние б), дающая наименьшее значение предельной нагрузки.