Предельное равновесие балок и рам (стр. 5 из 5)

box

b₂ Момент сопротивления сечения:

A₂y_maxx₂

W_x = I_x/y_max = 126,5 / 4,82 = 26,2 см³.

Рис. 11

Допускаемую нагрузку можно найти, приравняв максимальные напряжения в балке допускаемым:

s_max = max M / W_x = s_admÞ 0,8164q_admL² / W_x = s_admÞ

q_adm = ( s_admW_x ) / ( 0,8164L² ) = ( 160×10⁶ Па × 26,2 ×10 ^{– 6} м³/

( 0.8164 × 1м² ) = 5135 Н / м = 5,135 кН / м .

3) Положение нейтральной оси в предельном состоянии найдём, приравняв площади сжатой и растянутой зон (Рис. 12):

10 + ( 6 – y ) × 2 = 2 ×yÞy = 5,5см.

А^-

x₀ Пластический момент сопротивления:

yW_пл = çS_xo^-ç + çS_xo⁺ç =

= 10 × 1,5 + ½ × 0,5²× 2 + ½ × 5,5²× 2 =

A⁺ = 45,5см ³.

Рис. 12

Предельный момент для сечения:

M_u = s_yW_пл = 240× 10⁶ Па × 45,5 × 10 ^{– 6}м ³ = 10920 Н× м = 10,92 кН× м

4) Балка перейдёт в предельное состояние тогда, когда в ней образуются два пластических шарнира. Один из них появится в правом пролёте, под силой. Положение второго, который возникнет в левом пролёте, под нагрузкой, нам пока неизвестно. Зададим его безразмерной координатой z (0 <z< 2). Механизм перехода в предельное состояние показан на Рис. 13.

Запишем уравнение работ внешних и внутренних сил на перемещениях, возникших в механизме. Работа распределённой нагрузки будет равна произведению интенсивности нагрузки на площадь фигуры, образованной осью балки в первоначальном состоянии, отрезком СС₁ и отрезками, лежащими под нагрузкой и совпадающими со звеньями механизма.

½ ×q_u [ BB₁zL + BB₁L(3 -z) – CC₁L ] + q_uL ×DD₁ – M_u(a+b) - M_u×2b = 0.

входящие в уравнение отрезки и углы выразятся через ВВ₁:

CC₁ = DD₁ = BB₁ / (3 -z); a = BB₁ / (zL); b = BB₁ / ((3-z)L).

Подставив это в уравнение работ, и решив его относительно предельной нагрузки, имеем:

2M_u ( 3 + 2z )

q_u = ¾¾¾¾¾¾ .

L² z( 10 – 3z )

Истинному положению пластического шарнира в левом пролёте соответствует минимум предельной нагрузки (см. пример 3): dq_u / dz = 0 .

Приравнивая в полученном выражении для производной числитель нулю, получим квадратное уравнение z² + 3z- 5 = 0, решив которое найдём корни: z₁ = 1,1926 и z₂ = - 4,1926 (не имеет смысла). Подставив первый корень в выражение для q_u, получим истинное значение предельной нагрузки для балки:

q_u = 1,406 M_u / L² = 1,406×10,92 кН×м / 1м² = 15,35 кН / м.

Если принять такой же коэффициент запаса по текучести, что и при упругом расчёте, то, исходя из расчёта по предельным нагрузкам, на балку может быть допущена нагрузка:

q_adm^u = q_u/ n_y = ( 15,35 кН / м ) / 1,5 = 10,23 кН / м .

Обратим внимание на то, что это значительно больше, чем даёт упругий расчёт. Отношение значений нагрузок по двум методам расчёта равняется: q_adm^u / q_adm= 10,23 / 5,135 = 1,99. Т.е. расчёт по методу предельного равновесия позволяет в данном случае увеличить нагрузку на балку в два раза.

Интересно отметить и тот факт, что пластический шарнир появился не в том месте, где в упругой стадии был максимальный изгибающий момент (z = 1,2778). Это обстоятельство говорит о том, что за пределами упругости происходят перераспределения усилий.

Заключение

Как уже отмечалось в п.2, кинематический метод всегда даёт верхнюю оценку предельной нагрузки, имея которую, мы не знаем, насколько она превышает истинную. По этой причине в расчёт приходится вводить дополнительный запас прочности. Помимо кинематического метода, существует статический метод определения предельных нагрузок. Он состоит в том, что рассматриваются статически возможные состояния и любая нагрузка, соответствующая произвольному статически возможному состоянию системы, меньше предельной нагрузки. Статический метод всегда даёт нижнюю оценку предельной нагрузки. Если бы мы могли решить задачу одновременно и кинематическим и статическим методами, то получили бы двухстороннюю оценку, что решило бы проблему. Однако нахождение статических решений в большинстве случаев весьма сложно, и точная оценка возможна для немногих задач.

Необходимым условием использования метода предельного равновесия является достаточная пластичность материала. Кроме того нагрузка должна быть статической или близкой к ней. Нельзя использовать этот метод при изменяющихся во времени напряжениях, т.к. в этом случае решающим фактором будет усталостная прочность. Эти обстоятельства сужают базу применения метода в машиностроительной практике. И, тем не менее, преимущество метода, заключающееся в значительной экономии материала, столь очевидно, что метод предельного равновесия надо использовать всегда, когда это возможно.

ЛИТЕРАТУРА

1. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. – М. : Наука. – 1986. – 512 с.

2. Малинин Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. – М.: Машиностроение. – 1968. – 400 с.

3. Ржаницын А.Р. Строительная механика. – М.: Высшая школа. – 1991. – 440 с.

4. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. – М.: Наука. -1979. – 744 с.

5. Лешковцев В.Г., Покровский А.М., Зарубин С.В. Расчет предельных нагрузок в стержневых системах. – М.: МГТУ. – 1993. – 36 с.

6. Гречанинов И.П., Рынковенко О.В. Расчеты за пределами упругости. – М.: МВТУ. – 1986. – 12 с.