Случайные процессы в статической динамике (стр. 2 из 2)
При этом функция распределения имеет вид (рис. 1.6).
 |
Рис. 1.5 Рис. 1.6
Определим числовые характеристики.
Математическое ожидание
.Средний квадрат
Дисперсия
.2. Случайные процессы и их статистические характеристики
Случайным (стохастическим) процессом называют случайную функцию, аргументом которой является время.
Реализацией называется неслучайная функция времени xi(t), которая является возможным значением случайного процесса X(t).
 |
Группа возможных реализаций составляет множество, семейство или ансамбль (рис 2.1).
Сечением случайного процесса в момент времени t1 называются возможные значения случайного процесса X(t1) в момент времени t1.
Статистические методы изучают не каждую из реализаций xi(t1), образующих множество X(t), а свойство всего множества с помощью усреднения свойств его реализаций. Усреднение может выполняться по множеству и по времени.
Усреднение по множеству
выполняется над множеством реализаций в фиксированный момент времени.Усреднение по времени
выполняется над одной реализаций на протяжении достаточно длинного промежутка времени –Т.Для случайных процессов функция распределения и плотность вероятности полностью определяет статистические свойства процессов и зависит как от уровня -х, так и времени -t.
(2.1)Эти функции характеризуют случайный процесс в фиксированный момент времени -t1.
Для полной характеристики случайного процесса в произвольные моменты времени необходимо знать многомерные законы.
(2.2)Эти законы громоздки, и оперировать ими сложно, поэтому на практике часто достаточно знание одномерных или двумерных законов. Это справедливо для широкого класса так называемых Гаусcовских процессов, или процессов с нормальным законом распределения. Например, помехи в САУ, действие которых обусловлено многими случайными факторами подчиненным различным законам распределения, и чем больше множество таких факторов, тем в значительно большей мере процесс будет приближаться к нормальному закону (в соответствии с центральной предельной теоремой).
2.1 Классификация случайных процессов
Случайные процессы можно классифицировать: стационарные; нестационарные (стохастические);
Стационарные процессы можно классифицировать: эргодические; неэргодические.
Стохастические процессы – это процессы, для определения статистических свойств которого необходимо усреднение, как по множеству, так и по времени.
Стационарные процессы – это процессы, для определения статистических свойств которого необходимо усреднение только по множеству, так как его числовые характеристики не зависят от времени.
Эргодические процессы - процессы, в которых статистические характеристики, определенные усреднением по времени, равны характеристикам, полученным усреднением по множеству. Для определения статистических свойств такого процесса используют одну, достаточно длинную реализацию x(t) на интервале [-T, T]. При этом
(2.3)2.2 Числовые характеристики случайных процессов
Математическим ожиданием (средним значением) случайного процесса X(t) называют неслучайную функцию времени mx(t), значение которой в каждый момент времени равно математическому ожиданию соответствующего сечения случайного процесса
. (2.4)При этом mx (t) представляет как бы ось симметрии отдельных реализаций, т. е. степень разбросанности относительно средней оси.
Для стационарных процессов
. (2.5)Для эргодических процессов
(2.6)Средний квадрат случайного процесса X(t) характеризует среднюю мощность процесса и определяется по формуле:
. (2.7)Для стационарных процессов
. (2.8)Для эргодических процессов
(2.9)Дисперсией случайного процесса X(t) называют неслучайную функцию времени Dx(t), значение которой в каждый момент времени равно дисперсии соответствующего сечения случайного процесса
. (2.10)Для стационарных процессов
. (2.11)Для эргодических процессов
(2.12)Математическое ожидание и дисперсия характеризуют процесс в отдельных сечениях, но не учитывают их взаимосвязь, эта взаимосвязь характеризуется корреляционной функцией.
Корреляционной (автокорреляционной) функцией случайного процесса X(t) называют неслучайную функцию двух аргументов Rxx(t1,t2), которая для каждой пары значений аргументов t1 и t2 равна корреляционному моменту соответствующих сечений случайного процесса
(2.13)Корреляционная функция характеризует степень статистической взаимосвязи между двумя сечениями случайного процесса.
Взаимно корреляционная функция равна
(2.14)Взаимно корреляционная функция характеризует степень статистической взаимосвязи между сечениями для двух процессов.
Для Гаусcовских случайных процессов определяющей характеристикой является двумерная плотность вероятности, поэтому корреляционная функция полностью характеризуют статистические свойства случайного процесса.
Для стационарных процессов корреляционная функция зависит от разности аргументов t = t2 –t1
(2.15)При этом дисперсия равна
.(2.16)Для эргодических процессов
(2.17)2.3 Основные свойства корреляционной функции
1. Начальное значение корреляционной функции равно дисперсии
.(2.18)2. Значение Rx(t) при любом t не может превышать ее начального значения
(2.19)3. Корреляционная функция симметрична относительно своих аргументов
(2.20) 
.Для взаимно корреляционных функций это не справедливо
4. Корреляционная функция стационарных процессов является четной функцией, а взаимно корреляционная – нечетной
(2.21)5. Корреляционная функция суммы Z(t) = X(t)+Y(t), где X(t) и Y(t) – случайные процессы
(2.22)6. Корреляционная функция произведения Z(t) = X(t)Y(t), где X(t)–случайный процесс, а Y(t) - неслучайная помеха
(2.23)7. Корреляционная функция суммы Z(t) = X(t)+Y(t), где X(t) – случайный процесс, а Y(t) – неслучайная функция
(2.24)так как
8. Для автокорреляционной функции можно записать выражение
Для взаимно корреляционной функции можно записать выражение
(2.26)Литература
1. Бойко Н.П., Стеклов В.К. Системы автоматического управления на базе микро-ЭВМ.- К.: Тэхника,1989. –182 с.
2. Вероятностные методы в вычислительной технике. Под ред. А.Н. Лебедева и Е.А. Чернявского - М.: Высш. Шк.,1986. -312 с.
3. Гальперин М. В. Автоматическое управление Издательство: ИНФРА-М, ИЗДАТЕЛЬСКИЙ ДОМ, 2004с. – 224с.
4. Иванов В.А., Медведев В.С., Чемоданов Б.К., Ющенко А.С. Математические основы теории автоматического управления. В 3 томах. Том 1 Издательство: МГТУ им. Н.Э. БАУМАНА, 2006.
5. Справочник по теории автоматического управления. /Под ред. А.А. Красовского- М.: Наука, 1987. -712 с.
6. Теория автоматического управления: Учебник для вузов. Ч1/Под ред. А.А. Воронова- М.: Высш. Шк.,1986.-367 с.