Теория оболочек (стр. 2 из 5)

=

d + d ;

Коэффициенты А₁ и А₂ являются коэффициентами первой квадратичной формы и называются параметрами Ляме. Первая квадратичная форма определяет так называемую внутреннюю геометрию поверхности и определяет метрику поверхности. Введем в рассмотрение единичный вектор внешней нормали к поверхности N. Запишем очевидное соотношение N×N =1 и продифференцируем его по a₁, a₂:

2N×N_{, i} = 0; очевидно, вектор N_{, I} лежит в касательной плоскости к поверхности Sи может быть представлен в виде разложения N_{, i} = B_ijr_j.

При этом вводится в рассмотрение тензор второго ранга

= B_ab×r_a×r_b,

являющийся вторым фундаментальным тензором поверхности, а его компоненты B_{ab -} коэффициентами второй квадратичной формы поверхности, определяющей внешнюю геометрию поверхности.

В главных осях тензор

может быть записан в виде:

= = k₁e₁e₁ + k₂e₂e₂

k₁ = 1/R₁; k₂ = 1/R₂ –

главные кривизны

В дальнейшем координатные линии выбираются вдоль главных осей кривизны. Пусть в дальнейшем

I₁ = k₁ + k₂ - первый инвариант (средняя кривизна)

I₂ = k₁×k₂ - второй инвариант (гауссова кривизна)

Специальная система координат в теории оболочек

N = e₁´e₂

Для любой точки тела оболочки:

r (a₁,a₂,a₃) = r (a₁,a₂) + a₃N

= (r_{, i}) ² = (r_{, i} + (a₃N), i) ² = (r_i + a₃B_ijr_j) ² (B₁₂ = B₂₁ =0)

= (r₁ + a₃N_,1) ² = (r₁ + a₃× B₁₁r₁) ² = (1 + a₃k₁) ²

H₁ = A₁ (1 + a₃k₁); H₂ = A₂ (1 + a₃k₂); (½r_i½= A_i)

= N×N = 1 ®H₃ = 1 –

параметры Ляме в специальной системе координат

Соотношения Гаусса и Кодацци

Уравнения совместности параметров Ляме:

(H_2,1/H₁),₁ + (H_1,2/H₂),₂ + (H_1,3× H_2,3) /

= 0

(H_1,2× H_2,3) / (H₂H₃) - (H_1,3/H₃),₂ = 0

В специальной системе координат

H_b= A_b (1 + a₃k_b); H₃ = 1 (b = 1,2)

Рассмотрим срединную поверхность a₃ = 0

(A_2,1/A₁),₁ + (A_1,2/A₂),₂ + k₁A₁ k₂A₂ = 0 –

соотношение Гаусса.

A_1,2 k₂ - (A₁k₁),₂ = 0, (A₁k₁),₂ = A_1,2k₂

при замене индексов получаем два соотношения Кодацци

(A₂k₂),₁ = A_2,1 k₁

Вектор перемещений

u = R- r = u₁e₁ + u₂e₂ + u₃e₃

R- текущая конфигурация

r- отсчетная конфигурация

u_{, i} = (u_ke_k), i = (u_k), ie_k + u_k (e_k), i

Дифференцирование ортов в специальной системе координат

e_1,1 = - e₂ (H_1,2/H₂) - e₃ (H_1,3/H₃) = - e₂ 1/ (A₂ (1 + a₃k₂)) × [A₁ (1 + a₃k₁)],₂ -

e₃× [A₁ (1 + a₃k₁)],₃ = - e₂ 1/ (A₂ (1 + a₃k₂)) [A_1,2 + a₃ (A₁k₁),₂] - e₃ A₁k₁ =

= - e_{2 (}A_1,2 (1 + a₃k₂)) / (A₂ (1 + a₃k₂)) - e₃ A₁k₁ =

= - e₂ (A_1,2/A₂) - e₃ A₁k₁;

e_1,2 = e₂ (H_2,1/H₁) = e₂ 1/ (A₁ (1 + a₃k₁)) [A_2,1 + a₃ (A₂k₂),₁] =

= e_{2 (}A_2,1 (1 + a₃k₁)) / (A₁ (1 + a₃k₁)) = e₂ (A_2,1/A₁);

e_1,3 = e_{3 (}H_3,1/H₁) = 0 (т.к H₃ = 1)

e_2,1 = e₁ (A_1,2/A₂) - получаем из e_1,2 заменой (1«2)

e_2,3 = e_{3 (}H_3,2/H₂) = 0 e_3,2 = e_{2 (}H_2,3/H₃) = e₂ A₂k₂

e_3,1 = e_{1 (}H_1,3/H₃) = e₁ A₁k₁ e_3,3 = 0 (H₃ = 1)

Удлинения, сдвиги и повороты элемента сплошной среды

а) Рассмотрим удлинения

dr- в отсчетной конфигурации, dR- в текущей конфигурации

dR = dr ×

;

R (

= e_k (…),_k / H_k)

R = r + u

(r + u) =

r +

u =

u

Рассмотрим относительное удлинение

(½dR½-½dr½) /½dr½ = e; ½dR½ = dS; ½dr½ = ds;

dS² - ds² = dR×dR - dr×dr = dr×

×dr ×

- dr×dr =

=dr×

×

×dr - dr×

×dr = dr (

×

-×

) × dr =

= 2dr×

×dr;

= 0,5 (

×

-

) - тензор деформаций Грина

= 0,5 [ (

+

u) (

+

u^T) -

] = 0,5 (

u +

u^T +

u×

u^T)

dr = eds®e = dr /½dr½- единичный вектор

dS² - ds² = 2ds² e×e^G×e

(dS² - ds²) /ds²= (dS/ds) ² - 1 = 2e×e^G×e

dS/ds = (1 + 2e×e^G×e) ^1/2;

e_e = (dS - ds) /ds = (1 + 2e×e^G×e) ^1/2 - 1 - удлинение

Пусть e = e₁;

= (1+2 ) ^1/2 - 1 = 1 + + … - 1 = »e₁₁

e = 0,5 (Ñu +Ñu^T) - линейный тензор деформаций Коши.

Деформации сдвига

Выделим два прямолинейных волокна, направление которых определяется единичными векторами m₁ и m₂

dr₁ = m₁ds₁; dr₂ = m₂ds₂;

ds_i= ½dr_i½- длины элементов волокон до деформаций