Теория оболочек (стр. 1 из 5)

Введение. Основные определения

Конструктивные формы современных машин и сооружений чрезвычайно разнообразны. Выбор формы детали, узла или сооружения определяется многими факторами: их назначением, условиями работы, технологией изготовления, стоимостью, а также методами расчета. Одним из самых распространенных типов современных и перспективных конструкций являются тонкостенные оболочки. Тонкие пластины и оболочки находят исключительно широкое применение в конструкции самых разнообразных инженерных сооружений. По этой причине создание надежных совершенных конструкций непосредственно зависит от уровня развития теории тонких пластин и оболочек.

Тонкая оболочка может быть определена как тело, ограниченное двумя криволинейными поверхностями, расстояние между которыми мало по сравнению с другими размерами. Таким образом, для оболочечных конструкций характерна тонкостенность.

К оболочкам относятся, в частности, тонкостенные пространственные системы, очерченные по криволинейным поверхностям. Оболочки способны выдерживать разнообразные виды нагрузок и обеспечивать изоляцию от окружающей среды. Им можно придать обтекаемую форму и на их основе получить относительно легкие конструкции, что имеет огромное значение в авиакосмической промышленности

Снижение материалоемкости конструкции - важный фактор для многих машин и агрегатов. Выгодно это и в строительных сооружениях. Оболочки позволяют эффективно решать проблему минимизации массы.

В настоящее время оболочки можно видеть повсюду. Высотные здания и телебашни, спортивно-концертные комплексы, крытые стадионы и рынки, цистерны и резервуары, трубопроводы и градирни, самолеты и ракеты, надводные и подводные корабли, автомобили в существенной части состоят из оболочек. Транспортные конструкции характеризуются не только возможностью достижения высоких скоростей, аэродинамическим совершенством форм, грузоподъемностью. Они воплощают также идеи оптимальности, экономичности, весового совершенства.

Оболочки как элементы конструкций известны давно. Это и паровой котел, и водопровод в древнем Риме. С давних времен известны емкости для хранения жидкостей и зерна, криволинейные своды перекрытий в строительстве. Но решающую роль в самых различных областях современной техники оболочки стали играть последние несколько десятилетий.

Термин "оболочка" относится к числу перегруженных и в него можно вкладывать разный смысл. Далее под оболочками понимаются конструкции, способные выполнять силовые, эксплуатационные, технологические, архитектурные и эстетические функции.

При математическом моделировании с понятием оболочки в первую очередь связывается представление о геометрической поверхности. В механике деформируемого твердого тела и строительной механике классификация объектов (тел) основана на особенностях их формы и соотношении характерных размеров.

Принято различать и выделять элементы конструкций, один размер которых намного больше двух других. Это стержни, кольца, арки. Тела, у которых один размер намного меньше остальных, образуют класс оболочек и пластин.

Основная проблема теории тонких упругих оболочек состоит в сведении трехмерной задачи теории упругости к двумерной задачи. Таким образом, развитие общей теории тонких упругих пластин и оболочек идет по пути сведения трехмерных уравнений теории упругости к двумерным. Для решения этой проблемы предложено большое число методов, которые по классификации С.А. Амбарцумяна могут быть объединены в три группы: метод гипотез, метод разложения общих уравнений теории упругости по толщине оболочки и асимптотический метод. Все эти методы интенсивно развиваются, дополняя друг друга.

Список обозначений

a₁, a₂ - криволинейные ортогональные координаты срединной поверхности S_o оболочки на линиях главных кривизн; для оболочки вращения a₁ ─ продольная, a₂-окружная координаты; z ─ координата по нормали

к S;

А₁, А₂ -коэффициенты Лямэ; k₁, k₂ -главные кривизны;

U, V, W- компоненты вектора перемещений произвольной точки оболочки;

u, v, w- компоненты вектора перемещений точек поверхности S_o;

q ₁, q₂ - углы поворота нормали

;

e_jk- компоненты тензора деформаций;

E₁₁, E₂₂, E₁₂ - компоненты тангенциальной деформации на S: растяжения-сжатия по направлениям координат a₁ и a₂ и сдвиг;

K₁₁, K₂₂, K₁₂ - компоненты изгибной деформации: изменения главных кривизн и кручение;

T₁₁, T₂₂, S- тангенциальные внутренние усилия, приведенные к S_o: усилия растяжения-сжатия и сдвига;

M₁₁, M₂₂, H- изгибающие и крутящий моменты;

Q₁₁, Q₂₂ - перерезывающие силы;

q₁, q₂, q₃ - компоненты внешней поверхностной нагрузки, приведенные к S;

E, n- модуль Юнга и коэффициенты Пуассона материала оболочки;

y_j-унифицированные обозначения основных независимых переменных в разрешающих системах обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ);

f_j- операторы правых частей канонических систем ОДУ;

Рассмотрим элемент произвольной тонкой оболочки, пусть в дальнейшем

h- толщина оболочки, принимаемая в дальнейшем постоянной.

Обозначим через R₁, R₂- главные радиусы кривизны срединной поверхности оболочки S. R=min {R₁, R₂}.

Основным геометрическим параметром оболочки является параметр тонкостенности или относительная толщина, определяемый отношением e=h/R.

Принята достаточно условная классификация оболочек по ее толщине на тонкие, средней длины и толстые оболочки.

Будем считать оболочку тонкой, если ее относительная толщина значительно меньше единицы. Обычно оболочки считают тонкими при значении e<1/20. Значения 1/20 < e < 1/10 соответствуют оболочке средней толщины, а e > 1/10 - толстой оболочке.

Для незамкнутых оболочек можно задать характерный размер размер a. Тогда параметр тонкостенности можно определить как e = min (h/a, h/R).

Поверхность оболочки S, равноотстоящая от лицевых поверхностей S₊ и S _- называется ее срединной поверхностью.

Криволинейные, ортогональные системы координат

Правило дифференцирования базисных векторов криволинейной ортогональной системы координат определяется следующим образом:

e_s,t = - (H_t,s /H_s) e_t - d_stÑH_t

Ñ = e_m (…),_m / H_m

Здесь H_{m -} параметры Ляме координатной системы, имеющие вид

= (r_{, i}) ²; Hi = ½r_{, i}½.

Здесь r_{, I -} радиус - вектор произвольной точки тела оболочки. В частности:

e_1,1 = (H_1,1/H₁) e₁ - (H_1,1/H₁) e₁ - (H_1,2/H₂) e₂ - (H_1,3/H₃) e₃

e_1,2 = (H_2,1/H₁) e₂; e_3,2 = (H_2,3/H₃) e₂; H_i (a₁, a₂, a₃)

Запишем условие совместности, которое в принятых обозначениях имеет вид:

(e_1,1),₂ = (e_1,2),₁

₍e_1,2),₁ = ( (H_2,1/H₁) e₂),₁ = (H_2,1/H₁),₁ e₂ + (H_2,1/H₁) (H_1,2/H₂) e₁;

(e_1,1),₂ = - [ (H_1,2/H₂) e₂ + (H_1,3/H₃) e₃],₂ =

= - (H_1,2/H₂),₂e₂ + (H_1,2/H₂) ( (H_2,1/H₁) e₁+ (H_2,3/H₃) e₃) -

(H_1,3/H₃),₂e₃ - (H_1,3/H₃) (H_2,3/H₃) e₂

Тогда, приравнивая коэффициенты при базисных векторах, получим:

e₁: (H_2,1H_1,2) / (H₁H₂) - (H_2,1H_1,2) / (H₁H₂) º 0 - тождество

e₂: (H_2,1/H₁),₁ + (H_1,2/H₂),₂ + (H_1,3 × H_2,3) /

= 0

e₃: (H_1,2× H_2,3) / (H₂H₃) - (H_1,3/H₃),₂ = 0

Круговая перестановка индексов приводит к шести уравнениям совместности параметров Ляме.

Некоторые сведения из теории поверхностей

Рассмотрим произвольную гладкую поверхность и систему декартовых координат x, y, z.

Пусть r = r (a₁, a₂) - радиус-вектор произвольной точки срединной поверхности оболочки. Рассмотрим производные rпо переменным a₁ и a₂

r_,1 = r_1; r_,2 = r₂

Введем в рассмотрение базис

r₁ /½r₁½= e₁r₂ /½r₂½= e₂

и обозначим ½r_a½ = A_aна срединной поверхности S (a₃ =0). В этом случае r_i = A_ie_i

Составим скалярные произведения:

r_a×r_b =G_ab; G₁₁ =

; G₂₂ =

G₁₂ = G₂₁ = 0 для ортогональной системы координат

При этом образуется тензор второго ранга

= G_abr_ar_b, который называется первым фундаментальным тензором поверхности.

ds² = (dr) ² = (r_,1 da₁ + r_,2 da₂) ² =

= (r₁da₁ + r₂ da₂) ² = G₁₁d

+ 2G₁₂ da₁da₂ +C₂₂ d =