Рис. 2
Изгиб происходит в плоскости минимальной жесткости, т.е. поперечные сечения будут поворачиваться вокруг той оси, относительно которой момент инерции I имеет минимальное значение. Изгибающий момент по абсолютной величине в любом сечении равен
Ми = Fcr·y, (3)
где у – прогиб поперечного сечения. Так как прогиб у и вторая производная от него d2y/dx2 при любом направлении оси у всегда имеют противоположные знаки, уравнение (5.92) выразим как
d2y/dx2 = (–Fcr·y)/(EI). (4)
Обозначая
k2 = Fcr/(EI), (5)
представим уравнение (5.94) в виде y'' + k2y = 0. Это линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Его общее решение имеет вид
y = C sin kx + D cos kx. (6)
Для определения постоянных интегрирования С и D используем известные граничные условия, а именно, условия крепления на концах стержня: при х = 0 и при х = ℓ прогиб отсутствует, т.е. у = 0.
Подставляя в уравнение (6) данные первого условия, определим, что D = 0, а стержень изгибается по синусоиде у = Csinkx. Из второго граничного условия найдем С sinkℓ = 0. Полученное соотношение справедливо, если С = 0 или sinkℓ = 0. Если считать С = 0, то при D = 0 прогиб (5.96) во всех поперечных сечениях по длине стержня при любых значениях х отсутствует, что противоречит исходной предпосылке. Выражение sinkℓ = 0 справедливо, когда kℓ = nπ, где n – произвольное целое число (n = 0, 1, 2, …). Подставляя значение k = (πn)/ℓ в выражение (5), получим что
Fcr = k2EI = (π2n2EI)/ℓ2. (7)
Чтобы стержень сохранял криволинейную форму, необходимо, чтобы сила была отлична от нуля, т.е. n ≠ 0. С практической точки зрения интерес представляет наименьшее значение критической силы, при действии которой происходит искривление оси стержня, потеря устойчивости. При n = 1 получаем наименьшее значение критической силы, равное
Fcr = (π2EI)/ℓ2. (8)
Используя особенности упругой линии, можно распространить полученное решение на другие случаи закрепления стержня. Так, если стержень на одном конце жестко защемлен, а на другом – свободен (рис. 2, б), то упругую линию стержня легко привести путем зеркального отображения относительно заделки к упругой линии шарнирно закрепленного стержня (рис. 2, а). Очевидно, критическая сила стержня с таким закреплением длиной ℓ будет равна критической силе шарнирно закрепленного стержня длиной 2ℓ.
Общее выражение критической силы для сжатого стержня в обобщенном виде с учетом его типа крепления примет вид
Fcr = (π2EI)/(υℓ)2 (9)
где υ – коэффициент приведения длины стержня (коэффициент Ясинского), т.е. число, показывающее, во сколько раз нужно изменить длину шарнирно опертого с обоих концов стержня, чтобы критическая сила его была равна критической силе стержня с конкретными условиями закрепления. Чаще всего концы сжимаемых стержней закрепляют одним из четырех способов, показанных на рис. 3. Коэффициенты приведения длины указаны на схемах крепления. Наиболее чувствительным к потере устойчивости является крепление, представленное на рис 3, а и наименее чувствительным – на рис. 3, г. Отметим, что применение формулы (5.99) правомерно только при условии, что деформация сжатого стержня в момент потери начальной формы равновесия является упругой.
Рис. 3
Прочность при циклически изменяющихся нагрузках (напряжениях). Понятие об усталости материалов
Работа механизмов характеризуется определенностью движений и нагружений звеньев, повторяемостью через определенные промежутки времени (периоды) этих движений. Значительная часть элементов механизмов (валы, зубья зубчатых колес и т.д.) испытывает в процессе эксплуатации периодические изменяющиеся по величине и знаку механические нагрузки. Замечено, что при таком нагружении разрушение деталей происходит при напряжениях, значительно меньших предельных напряжений (предела текучести) при статическом нагружении. Характер разрушения материалов при переменных повторяющихся нагрузках существенно отличается от вида разрушения при статическом нагружении. Разрушение начинается с образования на поверхности элементов микротрещин, которые развиваются вглубь материала, уменьшая площадь поперечного сечения детали. Разрушение происходит внезапно при достаточном ослаблении сечения и на поверхности разрушения видны две характерные зоны: зона постепенного развития трещины и зона внезапного разрушения. Процесс постепенного накопления повреждений под действием повторяющихся знакопеременных нагрузок, приводящий к внешне непроявляющемуся изменению свойств (электропроводимость, микротвердость и др.) материала, к зарождению и развитию трещин, и, наконец, к разрушению элемента, называют усталостью. Усталостное разрушение – длительный процесс, связанный с многократным нагружением. Свойство материала (изделия) сопротивляться усталости называют выносливостью, или усталостной прочностью.
Совокупность последовательных значений напряжений (нагрузок) за один период называют циклом напряжений (нагрузок). Замечено, что сопротивление усталости зависит от значений наибольшего и наименьшего напряжений цикла, их отношения и практически не зависит от закона изменения (синусоидальный, треугольный, трапецеидальный и др.) напряжений внутри цикла. Будем считать, что напряжения меняются во времени по закону, близкому к синусоиде (рис. 4). Цикл напряжений характеризуется следующими величинами: максимальнымσmax и минимальнымσmin напряжениями, т.е. наибольшим и наименьшим по алгебраическому значению (с учетом знаков) напряжениями; средним напряжениемσm, равным алгебраической полусумме σmax и σmin(σm = (σmax + σmin)/2); амплитудой цикла напряженийσa, равной полуразности σmax и σmin(σa = (σmax – σmin)/2); коэффициентом асимметрии цикла R, равным отношению минимального напряжения к максимальному, т.е. R = σmin/ σmax. На рис. 4, а показан асимметричный цикл напряжений, когда |σmax| ≠ |σmin|. Наиболее часто на практике встречаются симметричный и отнулевой циклы напряжений. Для симметричного цикла имеем σmax = σ; σmin = –σ; σa = σ; σm = 0; R = –1; а для отнулевого (пульсационного): σmax = σ; σmin = 0; σa = σm = σ/2; R = 0, где σ – максимальное по величине напряжение цикла. Постоянное статическое напряжение (рис. 4, г) можно рассматривать как частный случай переменного с параметрами σmax = σmin = σm = σ; σa = 0; R = + 1. Наиболее опасны симметричные циклы нагружения.
