Устойчивость систем автоматического управления (стр. 6 из 6)
(3.32)После замены s=jwполучим
Так как равенство нулю всего преобразованного характеристического уравнения может выполняться только, если одновременно равны нулю его вещественная и мнимая части, то получим систему уравнений относительно изменяемых параметров
(3.33)Разрешив систему (3.33) относительно m и l, получим
где
Задавая значения частоты от -¥ до +¥, определим совокупность точек на плоскости m - l, образующих кривую D – разбиения. Функции m(w) и l(w) являются четными, и поэтому, при изменении частоты в указанных выше пределах, кривая D – разбиения пробегается дважды. При построении кривой D – разбиения в плоскости двух параметров необходимо руководствоваться следующими правилами [8,14]:
1) если в системе (3.33) первое уравнение получено из вещественных частей, а второе – из мнимых частей функций P(jw), Q(jw) и S(jw) и если параметр m по написанию стоит первым, а l - вторым, то система координат должна быть правой, т.е. ось m является осью абсцисс с отсчетом положительных значений вправо, а ось l - осью ординат с отсчетом положительных значений вверх;
2)двигаясь по кривой D – разбиения при изменении частоты в сторону увеличения, ее штрихуют слева, если D(w)>0, и справа, если D(w)<0; в результате кривая штрихуется дважды с одной стороны, так как на концах кривой при w=0 и w=¥ знак главного определителя D(w) изменяется.
Может быть случай, когда при w=w*¹ 0,¥ одновременно D(w*)= =Dm(w*)=Dl(w*)=0. Тогда система (3.33) становится линейно – зависимой и ее уравнения отличаются друг от друга только на постоянный множитель. В этом случае эта система сводится к одному уравнению, определяющему на плоскости m - l прямую линию, которая называется особой прямой.
Если особая прямая пересекает кривую D – разбиения в точке w=w* и в этой точке определитель D(w) меняет знак, то эта прямая также является границей устойчивости и в указанной точке изменяется направление штриховки кривой и особой прямой. Если при w=w* изменение знака главного определителя не происходит, то штриховка на особую прямую не наносится. Если свободный член характеристического уравнения dn=dn(m,l), то это соответствует существованию особой прямой для w=0 и ее уравнение будет
(3.34)Уравнение особой прямой для w=¥ определяется выражением
(3.35)Прямые (3.34) и (3.35) называются концевыми. Они штрихуются одинарной штриховкой, согласованной в точках w=0 и w=¥ с направлением штриховки основной линии. Предполагаемая область устойчивости находится внутри заштрихованного участка и проверяется аналогично предыдущему. Переход через кривую D – разбиения, заштрихованную дважды, соответствует переходу через границу устойчивости двух корней, а переход через особую концевую с одинарной штриховкой – переходу одного корня. Если концевые прямые не имеют общих точек с основной кривой, то штриховка на них наносится в сторону положительности параметров.
Пример. Построить область устойчивости системы стабилизации угла тангажа в плоскости параметров ku и kwz.
Характеристическое уравнение замкнутой системы может быть представлено в виде (3.32), где
После подстановки s=jwи выделения вещественных и мнимых частей, получим
Составив систему уравнений (3.33) и решив ее, получим
Определив корни этих уравнений, можно сделать вывод, что общих корней, кроме нулевого корня, не существует.
Значит особых прямых нет, существует только концевая прямая, соответствующая уравнению dn=kcku=0. Руководствуясь выше приведенными правилами, построим кривую D – разбиения и заштрихуем ее и концевую прямую. Проверку осуществим в точке ku=5, kwz=0.6.
уже ранее установили, что в этой точке система устойчива, а значит и заштрихованная область является областью устойчивости.
Заключение
Практическая пригодность САУ, определяется ее устойчивостью и приемлемым качеством процесса управления (регулирования). На любую САУ действуют различные внешние возмущения, которые могут нарушать ее нормальную работу. Правильно спроектированная система должна устойчиво работать при всех внешних возмущениях.
В простейшем случае, понятие устойчивость системы связана со способностью ее возвращения к исходному состоянию после кратковременного внешнего воздействия. Если система неустойчивая, она не возвращается к состоянию равновесия, из которого по каким-то причинам вышла.
Только устойчивая система автоматического управления может выполнять возложенные на нее функции. Поэтому одной из основных задач САУ является обеспечение ее устойчивости.
Устойчивость считается важнейшим и обязательным понятием, так как только в устойчивой системе могут быть удовлетворены другие требования к качеству.
В своей работе я исследовал устойчивость системы стабилизации угла тангажа самолета и определял критическое значение передаточного числа автопилота по углу тангажа, используя различные критериями устойчивости. А именно:
- Критерием устойчивости Рауса-Гурвица;
- Критерием устойчивости Михайлова;
- Критерием устойчивости Найквиста.
1) Дорф Р., Бишоп Р. Автоматика. Современные системы управления. 2002г. – 832с.
2) Харазов В.Г. Интегрированные системы управления технологическими процессами: Справочник. Издательство: ПРОФЕССИЯ, ИЗДАТЕЛЬСТВО, 2009. – 550с.
3) Брюханов В.Н. и др. Теория автоматического управления. – М: Высшая школа, 2000.
4) Ким Д.П., Дмитриева Н.Д. Сборник задач по теории автоматического управления. Линейные системы. ФИЗМАТЛИТ, 2007. – 168 с.
5) Лукас В.А. Теория автоматического управления. – М.: Недра, 1990. – 416 с.
6) В.А. Бесекерского, Е.П. Попов Теория систем автоматического управления-747с.
7) Справочник по теории автоматического управления. /Под ред. А.А. Красовского – М.: Наука, 198 – 712 с.