Основы робототехники (стр. 2 из 2)

x = x'/t', y = y'/t', z = z'/t'.

Обычно принимают t'=1. У матрицы поворота U_ij элементами u_ijявляются направляющие косинусы углов между новой осью i и старой осью j. Вектор

- трехмерный вектор, определяющий положение начала новой системы координат i в старой системе j. Выбор расположения осей должен соответствовать решаемой задаче. При решении задачи о положениях необходимо: в прямой задаче определить положение выходного звена как функцию перемещений в приводах, в обратной - заданное положение выходного звена представить как функцию перемещений в приводах. Выбор расположения и ориентации локальных систем координат должен обеспечивать выполнение этих задач. При использовании метода Денавита и Хартенберга оси координат располагаются по следующим правилам:

1. Для звена i ось z_i направляется по оси кинематической пары, образуемой им со звеном (i+1). Начало координат размещают в геометрическом центре этой пары.

2. Ось x_i направляется по общему перпендикуляру к осям z_i-1и z_i с направлением от z_i-1к z_i. Если оси z_i-1и z_i совпадают, то x_i перпендикулярна к ним и направлена произвольно. Если они пересекаются в центре кинематической пары, то начало координат располагается в точке пересечения, а ось x_i направляется по правилу векторного произведения

(кратчайший поворот оси z_i до совмещения с z_i-1при наблюдении с конца x_i должен происходить против часовой стрелки).

3. Ось y_i направляется так, чтобы система координат была правой.

В прямой задаче необходимо определить положение схвата манипулятора и связанной с ним системы координат Mx_ny_nz_n по отношению к неподвижной или базовой системе координат Kx₀y₀z₀. Это осуществляется последовательными переходами из системы координат звена i в систему координат звена i-1. Согласно принятому методу, каждый переход включает в себя последовательность четырех движений: двух поворотов и двух параллельных переносов, осуществляемых в указанной последовательности (рис. 3):

· поворот i-ой системы вокруг оси x_i на угол -q_i до параллельности осей z_i и z_i-1 (положительное направление поворота при наблюдении с конца вектора x_i против часовой стрелки);

· перенос вдоль оси x_i на величину -a_i до совмещения начала системы координат O_i с точкой пересечения осей x_i и z_i-1 (отсчет по оси xi от точки пересечения оси x_i и оси z_i-1);

Рисунок 3. Схема манипулятора перехода из звена i в i-1.

· перенос вдоль оси z_i-1 на величину -s_i, после которого начало системы координат O_i оказывается в начале координат O_i-1 системы (i-1) (отсчитывается по оси z_i-1 от ее начала координат O_i-1 до точки ее пересечения с осью x_i);

· поворот вокруг оси z_i-1 на угол -ji, до тех пор пока ось x_i не станет параллельной оси x_i-1 (положительное направление поворота при наблюдении с конца вектора z_i-1 против часовой стрелки).

Необходимо отметить, что знак угла поворота не имеет значения, так как в матрицах перехода используются направляющие косинусы (четные функции). Целесообразно рассматривать угол, обеспечивающий кратчайший поворот оси старой системы i до совмещения (параллельности) с соответствующей осью новой (i-1). Перемещения начала координат определяются как координаты начала старой системы O_i в новой O_i-1.

В манипуляторах обычно используются одноподвижные кинематические пары или вращательные, или поступательные. Оба относительных движения как вращательное, так и поступательное, реализуются в цилиндрических парах. Поэтому при общем представлении механизма используются (рис. 3) цилиндрические пары.

Матрицы перехода их системы O_i в систему O_i-1 можно записать так:

где:

- матрица поворота вокруг

оси x_i на угол -q_i,

-матрица переноса вдоль оси x_i на -a_i,

-матрица переноса вдоль оси z_i-1на -s_i,

- матрица поворота вокруг оси z_i-1 на уг угол -j_i.

В этих матрицах переменные s_iи j_iсоответствуют относительным перемещениям звеньев в кинематических парах и являются обобщенными координатами манипулятора, определяющими конфигурацию механизма в рассматриваемом положении. Переменные a_i и q_i определяются конструктивным исполнением звеньев манипулятора, в процессе движения они остаются неизменными.

Положение некоторой произвольной точки М в системе координат звена i определяется вектором r_Mi, а в системе координат звена (i-1) - вектором r_Mi-1. Эти радиусы связаны между собой через матрицу преобразования координат М_i следующим уравнением:

где:

M_i - матрица перехода из i-ой системы координат в (i - 1)-ю.

Точность манипуляторов ПР

Точность манипуляторов определяется погрешностями позиционирования характеристической точки захвата (точка М) и погрешностями угловой ориентации захвата. Погрешности позиционирования определяются технологическими отклонениями размеров звеньев манипулятора, зазорами в кинематических парах манипулятора и механизмов приводов, деформациями (упругими и температурными) звеньев, а также погрешностями системы управления и датчиков обратной связи. В паспортных данных манипуляторов указывается максимально допустимое отклонение центра захвата манипулятора точки М от ее номинального расположения на множестве возможных конфигураций механизма. В результате погрешностей точка М описывает в пространстве некоторый эллипсоид, который называется эллипсоидом отклонений (рис. 4).

Рисунок 4. Схема манипулятора в пространстве.