Основи метрології та вимірювальної техніки (стр. 2 из 5)

1.2 Оцінювання випадкових похибок прямого вимірювання

Пряме вимірювання – це вимірювання однієї фізичної величини, значення якої знаходять безпосередньо: без перетворення її роду та використання функціональних залежностей.

Прямі багатократні вимірювання поділяються на рівно та нерівно точні. Рівно точними називаються вимірювання, що проводяться засобами вимірювання однакової точності за однією і тією ж методикою при незмінних зовнішніх умовах. При рівно точних вимірюваннях середні квадратичні відхилення результатів всіх рядів вимірювань рівні між собою.

Перед проведенням обробки результатів вимірювань необхідно переконатись в тому, що дані з вибірки, що оброблюються, статистично підконтрольні, групуються навколо одного й того ж центра і мають однакову дисперсію. Стійкість змін часто оцінюють інтуїтивно на основі тривалих спостережень. Однак існують математичні методи розв’язку поставленої задачі – методи перевірки однорідності. Щодо вимірювань, то розглядається однорідність груп спостережень, необхідні ознаки якої полягають в оцінці не зміщеності середніх арифметичних і дисперсій відносно один одного .

Задача обробки результатів багатократних вимірювань полягає в знаходженні оцінки вимірюваної величини і довірчого інтервалу, в якому знаходиться її дійсне значення.

Випадкові похибки рівно точних прямих вимірювань проявляються при багаторазових спостереженнях вимірюваної величини в однакових умовах одним оператором і за допомогою одного й того самого засобу вимірювання.

При статистичній обробці результатів багаторазових спостережень необхідно виконати наступну послідовність дій:

— провести багаторазові вимірювання і отримати масив Х1, Х2,…, Хn вимірювальної інформації;

— поправити результати вимірювання, вилучивши відомі систематичні похибки шляхом внесення поправок у результати спостережень;

— знайти математичне сподівання поправлених результатів спостереження і прийняти його за дійсне значення.

Для нормального закону розподілу, а якщо поступитися ефективністю оцінки, то й для всіх симетричних законів розподілу, за оцінку математичного очікування ряду рівноточних спостережень приймають середнє арифметичне, що визначається за формулою:

;(1.3)

— визначити випадкове відхилення за наступною формулою:

; (1.4)

Дана різниця представляє собою випадкове відхилення (випадкову абсолютну похибку) при і-му спостереженні. Вона може бути позитивною та негативною.

Середнє арифметичне незалежно від закону розподілу має наступні властивості, що використовуються для перевірки правильності обчислення

:

;(1.5)

— обчислити середнє квадратичне відхилення результатів вимірювання за формулою Бесселя:

; (1.6)

Для серії n вимірювань однієї й тієї ж величини параметр S характеризує розсіювання результатів багаторазових n вимірювань однієї й тієї ж величини. Оскільки ми обчислюємо середнє арифметичне, необхідне для одержання оцінки S, то природно взяти його за результат вимірювання. Так як в даному випадку середнє арифметичне залежить від числа вимірювань і є випадковою величиною, та воно має деякі дисперсії відносно істинного значення;

— визначити квадратичне відхилення середнього арифметичного значення за формулою:

(1.7)

Отже, якщо в якості результату багаторазових вимірювань взяти середнє арифметичне

, то випадкова похибка (S) зменшується в раз порівняно з випадком, коли за результат вимірювання буде прийматися будь-яке одне з n спостережень. Тому багаторазові вимірювання з наступним усередненням результатів і прийняттям цього середнього за результат вимірювання є досить ефективним методом зменшенням випадкової похибки;

— визначити довірчі границі похибки вимірювання, що представляють собою верхню й нижню границі інтервалу, який накриває з заданою ймовірністю похибку вимірювання. Якщо число вимірювань n£30, то довірчий інтервал випадкової похибки при заданих ймовірності Р і середньому квадратичному відхиленню

визначається за формулою Стьюдента:

, (1.8)

де kt – коефіцієнт Стьюдента, який залежить від заданої ймовірності Р і числа вимірювань n.

Щодо значення довірчої ймовірності, то в більшості випадків приймають Р=0.95. Якщо ж вимірювання повторити неможливо, то приймають Р=0.99, а в особливо відповідальних випадках, коли вимірювання, що виконуються, пов’язані з створенням нових еталонів або їхні результати можуть суттєво вплинути на здоров’я людини, приймають Р=0.997;

1.3 Оцінювання випадкових похибок опосередкованого вимірювання

Оцінку випадкових похибок опосередкованих вимірювань необхідно здійснювати за такою методикою:

1. Визначити для результатів прямих вимірювань

і ;

2. Визначити значення невідомої величини

3. Визначити «вагу» кожної часткової похибки опосередкованих вимірювань

. (1.9)

4. Обчислити часткові випадкові похибки опосередкованих вимірювань

. (1.10)

5. Знайти оцінку СКВ результату опосередкованих вимірювань

,(1.11)

6. Знайти коефіцієнт kt Стьюдента за заданою довірчою ймовірністю Р і кількістю вимірювань n.

7. Знайти граничні значення випадкової складової похибки, яку приймають за похибку опосередкованого вимірювання

(1.12)

8. Записати результат опосередкованого вимірювання:

.(1.13)

Для визначення похибки результату опосередкованого вимірювання необхідно застосувати такі правила:

1. Якщо результат вимірювання представляється сумою або різницею двох і більше виміряних величин:

,(1.14)

і похибки Dх,..., Dw незалежні і випадкові, то абсолютна похибка результату може бути визначена за формулою

.(1.15)

Коли похибки аргументів корельовані, значення D

може перевищувати отримане за попередньою формулою, але завжди буде задовольняти умову

.(1.16)

2. Якщо кінцевий результат вимірювання представляється добутком або часткою двох і більше виміряних значень:

,(1.17)

і похибки

х,..., w незалежні і випадкові, то відносна похибка результату опосередкованого вимірювання визначається

. (1.19)

3. Якщо результат опосередкованого вимірювання є функцією однієї величини:

q = f(х), (1.20)

то похибка результату визначається

(1.21)

4. В загальному випадку похибка функції декількох величин

,(1.22)

похибки яких незалежні і випадкові, знаходиться

,( 1.23)

але сумарна похибка ніколи не перевищить значення.

.(1.24)

1.4 Оцінювання випадкових похибок сукупних та сумісних вимірювань

При сукупних та сумісних вимірюваннях невідомі величини хi , що підлягають безпосередньому вимірюванню, визначають за результатами вимірювання інших величин, які функціонально пов'язані з ними

φ(х1, х2, ... ,хn) =yj, (1.25)

де і=1, 2,....., n - порядковий номер невідомих величин х; j=1,2,...m - порядковий номер прямих вимірювань величин у.

Якщо результати прямих вимірювань Y містять випадкові похибки, то вони мають місце і в результатах сукупних (сумісних) вимірювань величин хi.

Розглянемо три випадки.

1. Очевидно, що для m < n систему розв'язати неможливо.

2. Для m=n розв'язання можливе, але похибки результатів вимірювання величин хi будуть, як і для прямих одноразових вимірювань, значними і числові значення цих похибок залишаються невідомими.

3. Для m>n систему знову неможливо розв'язати алгебраїчно тому, що ці рівняння несумісні, оскільки праві частини рівнянь замість точних значень Yj містять результати їхніх вимірювань уj= Yj + ΔYj; із випадковими похибками ΔYj,.