Основи метрології та вимірювальної техніки (стр. 4 из 5)

2.2 Розв’язок завдання 2

Абсолютну похибку опосередкованого вимірювання можна визначити через повний диференціал виразу цього вимірювання. А саме

.(2.8)

Тут

;

;

.

.

;

= ;

Розрахунки реалізовані за допомогою математичного пакету MathCAD і наведені у додатку Б.

2.3 Розв’язок завдання 3

Найкращою оцінкою багатократних прямих рівно точних вимірювань, що дає змогу зменшити вплив випадкових складових похибки вимірювання кожного окремого спостереження, є середнє значення

.(2.9)

Незміщена оцінка дисперсії сукупності спостережених значень

(2.10)

Проаналізуємо чи немає серед спостережень грубих (аномальних) помилок. Сформуємо із спостережень варіаційний ряд (від найменшого значення до найбільшого):

16,62; 16,62; 16,63;16,66;16,68;16,69;16,72;16,73;16,73;16,77;16,79;16,79;

Перевіримо крайні члени ряду на аномальність. Знайдемо співвідношення

(2.11)

(2.12)

За табл.1 (додаток), що задає допустимі значення про нормованих відхилень від середнього і заданою довірчою ймовірністю, знайдемо

, а саме: для , а отже, надійності , та n=12 маємо . Оскільки та менші від , то кратні значення (варіанти) варіаційного ряду не треба розглядати, як аномальні. Незміщена оцінка середньоквадратичного відхилення середнього значення

(2.13)

Оскільки кількість спостережень

< 30, то при оцінюванні гарантійного (довірчого) інтервалу для похибки середнього доцільно скористатися не розподілом Гауса, а Стьюдента. За табл.. 2 (додаток), що задає допустимі значення гарантійного коефіцієнта для заданої гарантійної (довірчої) ймовірності, знайдемо відповідний коефіцієнт. А саме для n=12, =0,99, =3,055. Отже, результат вимірювання

(2.14)

2.4 Розв’язок завдання 4.

Похибку опосередкованого вимірювання шукаємо за похибками прямих вимірювань. Зокрема, відносна похибка

, А абсолютна похибка непрямого вимірювання (див. задачу3)

(2.15)

Результати рівно точних взаємно незалежних спостережень величин Х та У містять випадкові похибки. Тому найкращою оцінкою кожної з безпосередньо вимірюваних величин (Х та У) та опосередкованої величини U будуть їх середні значення, тобто

(2.16)

….(2.17)

…(2.18)

За визначенням абсолютна похибка

тут - істинне, дійсне та середнє значення величини U, яку можна оцінити значеннями за прямими спостереженнями та .

Тому дисперсія абсолютної похибки усередненого результату посереднього вимірювання

(2.19)

Так само пов’язані і їх незміщені оцінки

(2.20)

Своєю чергою дисперсія похибок кожної з усереднених величин

та дорівнює сумі незміщеної оцінки дисперсії середнього випадкових спостережень та дисперсії інструментальної похибки відповідного вимірювального приладу, а саме:

(2.21)

Незміщені оцінки дисперсії спостережень

(2.22)

(2.23)

А дисперсій відповідних середніх значень

та

Звідси

(2.24)

(2.25)

0,73

Для

=0,95 й n=9 гарантійний коефіцієнт . Звідси результат опосередкованого вимірювання

(2.26)

2.5 Розв’язок завдання 5.

За умовою вважається, що залежність між величинами Y та Х є лінійною, тобто

Y=kX+b.

Необхідно знайти два невідомі параметри k й b, опрацьовуючи набори результатів спостережень {х,} та {у,} за методом найменших квадратів. Сформуємо відповідні рівняння, а саме: знайдемо часткові похідні функції Y за невідомими параметрами

….(2.27)

Одержимо систему двох рівнянь з двома невідомими, а саме:

(2.28)

Звідси

:

Знайдемо k=0,4; b=8,26. Отже Y=0,4X+8,26.

Рисунок 2.1 - Графік лінійної залежності

2.6 Розв’язок завдання 6.

Складемо систему нормальних рівнянь:

(2.29)