Сопротивление материалов (стр. 11 из 12)
В этом уравнении нагрузка q известна, поэтому его можно получить, учитывая, что
При интегрировании уравнения необходимо задать четыре граничных условия (по два на каждом конце балки) в том числе так называемые силовые граничные условия - условия, накладываемые на силовые величины (изгибающий момент и поперечную силу), которые выражаются через производные от прогиба. Так как
а с учетом дифференциального соотношения Qy=dMx/dz, получаем
Вернемся к интегрированию уравнения второго порядка. Если имеется несколько участков, для которых правая часть уравнения исходного f(z)=Mx/EJx, содержит разные аналитические выражения, то интегрирование усложняется. На рис. 4 приведена эпюра Мx, содержащая n участков. Для каждого участка независимое интегрирование дает по две константы, а при п участках требуется определить 2n постоянных. Добавляя к двум граничным условиям на опорах 2(n-1) условия непрерывности и гладкости упругой кривой на границе; смежных участков, заключающиеся в равенстве прогибов v и углов поворота сечений dv/dz на этих границах
получим 2n граничных условий, необходимых для нахождения постоянных интегрирования.
Рекомендую для практики решения дифференциальных уравнений второго порядка воспользоваться системой входных тестов Т-6, приведенных в ПРИЛОЖЕНИИ.
11. Напряжения и деформации при кручении призматических стержней кругового поперечного сечения
Ключевые слова: чистый сдвиг, жесткость сечения при кручении, угол закручивания, вал, прочность, жесткость.
Кручением называется такой вид деформации, при котором в поперечном сечении стержня возникает лишь один силовой фактор - крутящий момент Мz. Крутящий момент по определению равен сумме моментов внутренних сил относительно продольной оси стержня Oz. Нормальные силы, параллельные оси Oz, вклада в крутящий момент не вносят. С силами, лежащими в плоскости поперечного сечения стержня (интенсивности этих сил - касательные напряжения xz и yz) Мz связывает вытекающее из его определения уравнение равновесия статики (рис. 1)
Условимся считать Mz положительным, если со стороны отброшенной части стержня видим его направленным против часовой стрелки (см. рис. 2). Это правило проиллюстрировано на рис. 1 и в указанном соотношении, где крутящий момент Мz принят положительным. Численно крутящий момент равен сумме моментов внешних сил, приложенных к отсеченной части стержня, относительно оси Оz.
Рассмотрим кручение призматических стержней кругового поперечного сечения. Исследование деформаций упругого стержня с нанесенной на его поверхности ортогональной сеткой рисок (рис. 3) позволяет сформулировать следующие предпосылки теории кручения этого стержня:
поперечные сечения остаются плоскими (выполняется гипотеза Бернулли);
расстояния между поперечными сечениями не изменяются, следовательно z=0;
контуры поперечных сечений и их радиусы не деформируются. Это означает, что поперечные сечения ведут себя как жесткие круговые пластинки, поворачивающиеся при деформировании относительно оси стержня Оz. Отсюда следует, что любые деформации в плоскости пластинки равны нулю, в том числе и x = y =0;
материал стержня подчиняется закону Гука. Учитывая, что x =y = z =0, из обобщенного закона Гука в форме получаем x =y = z =0. Это означает, что в поперечных сечениях, стержня возникают лишь касательные напряжения , а вследствие закона парности касательных напряжений, равные им напряжения действуют и в сопряженных продольных сечениях. Следовательно напряженное состояние стержня - чистый сдвиг.
Выведем формулу для касательных напряжений при кручении призматического стержня кругового поперечного сечения. Как видно, поворот правого торцевого сечения относительно неподвижного левого на угол j (назовем его углом закручивания стержня) вызывает поворот продольных волокон на угол (угол сдвига), поскольку на величину искажаются углы ортогональной сетки продольных и поперечных рисок модели. Двумя смежными сечениями вырежем элемент стержня длиной dz и, поскольку нас интересуют деформации элемента, левое сечение его будем считать неподвижным (рис. 4). При повороте правого сечения на угол d в соответствии с гипотезой о недеформируемости радиусов, правый конец волокна АВ (отстоящий от оси элемента на величину полярного радиуса ) будет перемещаться по дуге BB1, вызывая поворот волокна на угол сдвига
Обратим внимание на то, что в соответствии с рис. 4 и рис. 5, а сдвиг и связанное с ним касательное напряжение перпендикулярны радиусу . Определим , воспользовавшись законом Гука для чистого сдвига
(1)
Здесь d /dz - погонный угол закручивания стержня, который остается пока неизвестным. Для его нахождения обратимся к условию статики, записав его в более удобной для данного случая форме (рис. 5, a)
(2)Подставляя (1) в (2) и учитывая, что
где Jp - полярный момент инерции поперечного сечения (для круга с диаметром d Jp=4/32), получаем
(3)
Подставляя выражение (3) в (1), получаем формулу для касательных напряжений при кручении призматического стержня кругового поперечного сечения
(4)
Как видно из (4), сдвиги и касательные напряжения пропорциональны расстояний от оси стержня. Обратим внимание на структурные аналогии формул для нормальных напряжений чистого изгиба и касательных напряжений кручения.
Мерой деформации стержня при кручении является погонный угол закручивания стержня, определяемый по (3). Поскольку величина DJp стоит в знаменателе формулы и при заданной нагрузке (Mz через нее выражается) d /dz тем меньше, чем больше DJp, последнюю называют жесткостью поперечного сечения при кручении.
Пользуясь (3) для определения угла закручивания элемента длиной dz
найдем полный угол закручивания стержня длиной l
(5)В случае, если по длине стержня Мz и DJp постоянны, получаем
когда эти величины кусочно-постоянны, то:
(6)Отметим, что полученные формулы по структуре аналогичны формулам для деформаций при растяжении стержня.
Наибольшие касательные напряжения возникают у внешней поверхности стержня, т. е. при max=d/2
где Wр - момент сопротивления при кручении или полярный момент сопротивления
Полярный момент сопротивления, стоящий в знаменателе для максимальных касательных напряжений, очевидно, является геометрической характеристикой сечения, а условие прочности стержня при кручении принимает вид
(7)
где [] - допускаемое напряжение на кручение.
Как показали эксперименты и точное решение этой задачи в теории упругости, все гипотезы, сформулированные ранее для стержня со сплошным круговым сечением, остаются справедливыми и для стержня кольцевого поперечного сечения (рис. 6). Поэтому все выведенные ранее формулы пригодны для расчета стержня кольцевого сечения с той лишь разницей, что полярный момент инерции определяется как разность моментов инерции кругов с диаметрами D и d
где =d/D, а момент сопротивления определяется по формуле