Моделирование нагрева асинхронного двигателя (стр. 1 из 12)
Введение
Нестационарные тепловые процессы в электрических машинах имеют место при их эксплуатации. Ими сопровождаются режимы пуска, отключения, торможения, изменения нагрузки и частоты вращения машин. Большое значение процессы нестационарного нагрева имеют при перегрузках по току и напряжению, при частых и затяжных пусках двигателей, а так же при работе их в заторможенном состоянии.
Особенностью нестационарных тепловых режимов, или тепловых переходных процессов, в электрических машинах является их инерционность, проявляющаяся в значительном отставании изменений температуры от электромеханических переходных процессов. Благодаря этому машины могут выдерживать в течение некоторого времени воздействие перегрузок, токов короткого замыкания и других ненормальных условий. Учет тепловой инерционности в расчетах нестационарного нагрева является обязательным условием достоверности результатов.
Повышенная температура электрических машин влияет на долговечность изоляции обмоток, на работу подшипников и др. Повышенная температура обмоток вызывает тепловое старение изоляции, приводящее к необратимому снижению электрической и механической прочности. Правило Монтзингера гласит, что повышение температуры на 8–100 С сокращает срок службы изоляции в два раза.
Основной целью данной работы является создание тепловой модели для выбора асинхронного двигателя по нагреву. Данная модель является упрощенным представлением процессов нагрева и охлаждения двигателя. Суть модели заключается в том, что, задавая характер изменения нагрузки во времени на входе, на выходе имеем кривую изменения температуры меди обмоток или стали статора.
1. Обзор литературы
1.1 Фундаментальные законы теплопередачи
В основе математической модели нагрева двигателя лежит основной закон теплопроводности [1,2,3,4,5], сформулированный Фурье в итоге анализа экспериментальных данных. Данный закон устанавливает количественную связь между тепловым потоком и разностью температур в двух точках тела: количество переданной теплоты пропорционально градиенту температуры, времени и площади сечения F, перпендикулярного к направлению распространения теплоты.
Если количество переданной теплоты отнести к единице времени, то сформулированная зависимость выразится следующим образом:
, (1.1)где р – количество переданной теплоты, отнесенное к единице времени, то есть мощность;
λ – коэффициент теплопроводности;
F – площадь сечения, перпендикулярного к направлению распространения теплоты;
θ – температура точек тела.
Знак «минус» в (1.1) означает, что передача теплоты происходит в сторону, противоположную направлению градиента, то есть в сторону понижения температуры.
Коэффициент теплопроводности λ в уравнении (1.1) является физическим параметром и характеризует способность вещества проводить теплоту.
, (1.2) 
.Аналитическое решение, полученное путем непосредственного интегрирования уравнения (1.1), дает возможность вычислить температуру в любой точке системы. Однако решение уравнения в частных производных является довольно громоздким и слишком усложняет задачу. Поэтому на практике, для упрощения решения широко используется метод конечных разностей [3]. Сущность метода заключается в том, что в дифференциальном уравнении производные искомой функции заменяются приближенным соотношением между конечными разностями в отдельных узловых точках температурного поля. В результате такой замены получаем уравнение в конечных разностях, решение которого сводится к выполнению простых алгебраических операций:
, (1.3)где δ – расстояние между исследуемыми точками;
Δθ – падение температуры на длине δ.
Для решения задач по определению температурного поля используют дифференциальное уравнение теплопроводности [1,2,3,4], которое выводится на основе закона сохранения энергии и закона Фурье. При выводе уравнения рассматривается нестационарное трехмерное температурное поле в однородном твердом теле, с распределенными по объему источниками теплоты. В пределах рассматриваемого тела берется элементарный объем dV=dx∙dy∙dz (рисунок 1.1), достаточно малый для того, чтобы считать физические параметры в нем постоянными, а потери – равномерно распределенными и пренебречь производными выше второго порядка от температуры θ по координатам.
Рисунок 1.1 – Элементарный объем dV
Для элементарного объема dV составляется тепловой баланс за элементарный промежуток времени dt. Тепловой баланс является следствием закона сохранения энергии при допущении, что в энергетическом процессе не участвуют другие виды энергии, кроме тепловой:
, (1.4)где dQ1 – тепловой поток, притекающий в объем dV за счет теплопроводности;
dQ2 – мощность источников теплоты, действующих внутри объема;
dQ – повышение внутренней энергии в объеме dV.
На рисунке 1.1 показаны только тепловые потоки, направленные вдоль оси x. Поток, притекающий слева, исходя из закона Фурье:
, (1.5)тепловой поток, проходящий через противоположную грань (с учетом изменения производной ∂θ/∂x на интервале dx):
. (1.6)Результирующий приток теплоты за единицу времени вдоль оси x:
. (1.7)Аналогично для других координатных осей:
; 
. (1.8)Суммарный тепловой поток, притекающий в объем dV за счет теплопроводности:
. (1.9)Мощность источников теплоты, действующих внутри объема:
, (1.10)где р0 – мощность потерь в единице объема.
Изменение внутренней энергии в объеме dV:
, (1.11)где с – удельная теплоемкость тела;
ρ – плотность материала тела.
Подставив (1.9), (1.10), (1.11) в (1.4) и проведя некоторые преобразования, получаем дифференциальное уравнение теплопроводности в частных производных:
. (1.12)где
– слагаемое, описывающее изменение теплосодержания тела; 
– слагаемое, обуславливающее тепловой поток, притекающий в систему за счет теплопроводности; 
– слагаемое, обуславливающее внутреннее тепловыделение.Рассмотрим процесс нагрева тела с собственным тепловыделением мощностью P, с поверхности S которого происходит теплоотдача конвекцией и излучением при коэффициенте теплоотдачи α [1,3,5]. Для упрощения математического описания процесса вводятся следующие допущения:
1. Тело обладает неограниченной теплопроводностью, что приводит к отсутствию градиента температуры по любому направлению в его объеме.
2. Температура окружающей среды θс неизменна, то есть окружающая среда обладает неограниченной теплоемкостью.
3. Коэффициент теплоотдачи α между поверхностью машины и окружающей средой не зависит от места и длительности протекания процесса.
Уравнение теплового баланса составляется на том основании, что теплота, выделившаяся за элементарный промежуток времени dt, частично идет на изменение собственного теплосодержания тела и частично отводится в окружающую среду. В соответствии с этим уравнение теплового баланса имеет вид [1,3,5]:
, (1.13)где ΔP – выделяемые в данном объеме потери мощности;
θ – температура тела;
θс – температура окружающей среды;
c – удельная теплоемкость;
G – масса исследуемого объема тела;
α – коэффициент теплоотдачи с единицы площади поверхности;
F – площадь поверхности охлаждения.
В правой части уравнения (1.13) первое слагаемое обуславливает повышение температуры тела, а второе – обмен теплотой с окружающей средой.
После преобразования уравнение теплового баланса (1.13) принимает вид:
, (1.14)где C=с∙G – теплоемкость тела;
А=α∙F – коэффициент теплоотдачи тела.
1.2 Обзор методов теплового расчета и существующих моделей
В соответствии с разнообразием условий теплоотвода для теплового расчета электрических двигателей используются различные методы [4]:
1. Метод точного или приближенного аналитического решения уравнений для трех- или двухмерных температурных полей обычно применяется при значительной неравномерности поля. При этом зачастую требуются определенные упрощения геометрической формы и граничных условий в математической модели.
2. Численный метод сеток применяется в подобных случаях, но не требует значительных упрощений формы рассчитываемых областей пространства.