Определение аналитической зависимости сопротивления металла пластической деформации для стали 30ХГСА (стр. 2 из 3)
Проведем парный регрессионный анализ. Рассмотрим по 5 уравнений для каждой зависимости. Расчеты удобно проводить в среде электронных таблиц MS Excel. Результаты оценки пяти уравнений представлены в таблицах 3-5. В таблицах жирной строкой выделено то уравнение, которое является наилучшей аппроксимацией исследуемой зависимости. Для температурного коэффициента это логарифмическая зависимость, для коэффициента деформации - степенная зависимость, для скоростного коэффициента – логарифмическая зависимость. При выборе уравнения ориентировались на критерий Фишера Fрасч принимающий максимальное значение, а также условие Fрасч>Fтабл.
Графики выбранных уравнений приведены на рисунках 1-3 . На рисунках точками изображены значения, полученные по исходным графикам зависимостей термомеханических коэффициентов от их физических величин. Сплошными линиями показаны графики полученных уравнений аппроксимации.
Таблица 3 – Уравнения зависимости Кt от t
| функция | Уравнение регрессии | R2 | k | Fp | F0,95 | |
| Линейная | 1 | Кt = -0,0028*t + 3,8065 | 0,9963 | 2 | 2154,162 | 5,318 |
| Логарифмическая | 2 | Кt = -2,8261Ln(t) + 20,524 | 0,9987 | 2 | 6145,846 | 5,318 |
| Полином 2 степ | 3 | Кt = 0,000002*t2 - 0,0077x + 6,2793 | 0,9993 | 3 | 4996,500 | 4,737 |
| Степенная | 4 | Кt = 6*109*t-2,9378 | 0,995 | 2 | 1592,000 | 5,318 |
| экспоненциальная | 5 | Кt = 18,259e-0,0029t | 0,9982 | 2 | 4436,444 | 5,318 |
Таблица 4 – Уравнения зависимости Кε от ε
| функция | Уравнение регрессии | R2 | k | Fp | F0,95 | |
| Линейная | 1 | Kε = 0,0219*ε + 0,7665 | 0,9672 | 2 | 235,902 | 5,318 |
| Логарифмическая | 2 | Kε = 0,304Ln(ε) + 0,3123 | 0,9967 | 2 | 2416,242 | 5,318 |
| Полином 2 степ | 3 | Kε = -0,0006*ε2 + 0,022ε + 0,6338 | 0,9985 | 3 | 2329,833 | 4,737 |
| Степенная | 4 | Kε = 0,5186*ε0,2857 | 0,9996 | 2 | 19992,000 | 5,318 |
| экспоненциальная | 5 | Kε = 0,799e0,020ε | 0,9388 | 2 | 122,719 | 5,318 |
Таблица 5 – Уравнения зависимости Кu от U
| функция | Уравнение регрессии | R2 | k | Fp | F0,95 | |
| Линейная | 1 | Ku = 0,0086U + 0,8404 | 0,8274 | 2 | 38,350 | 5,318 |
| Логарифмическая | 2 | Ku = 0,1253Ln(U) + 0,7081 | 0,9960 | 2 | 1992,000 | 5,318 |
| Полином 2 степ | 3 | Ku = -0,0002*U2 + 0,0202*U + 0,7777 | 0,9246 | 3 | 42,919 | 4,737 |
| Степенная | 4 | Ku = 0,7268*U0,1317 | 0,9930 | 2 | 1134,857 | 5,318 |
| экспоненциальная | 5 | Ku = 0,8401*e0,0087U | 0,7648 | 2 | 26,014 | 5,318 |
Рисунок 1. Температурный коэффициент для стали 30ХГСА
Рисунок 2. Степенной коэффициент для стали 30ХГСА
Рисунок 3. Скоростной коэффициент для стали 30ХГСА
По данным, полученным в результате парного анализа (таблица 6) строим графики (рисунки 4-6).
Таблица 6 – Данные полученные в результате парного регрессионного анализа
| Число наблюдений | t,ºC | Kt | ε,% | Kε | u, c-1 | Ku |
| 1 | 900 | 1,30 | 5 | 0,82 | 1 | 0,71 |
| 2 | 925 | 1,22 | 7,5 | 0,92 | 2 | 0,79 |
| 3 | 950 | 1,15 | 10 | 1,00 | 4 | 0,88 |
| 4 | 975 | 1,07 | 12,5 | 1,07 | 6 | 0,93 |
| 5 | 1000 | 1,00 | 15 | 1,12 | 8 | 0,97 |
| 6 | 1025 | 0,93 | 17,5 | 1,17 | 10 | 1,00 |
| 7 | 1050 | 0,86 | 20 | 1,22 | 20 | 1,08 |
| 8 | 1075 | 0,80 | 22,5 | 1,26 | 30 | 1,13 |
| 9 | 1100 | 0,73 | 25 | 1,30 | 40 | 1,17 |
| 10 | 1125 | 0,67 | 27,5 | 1,34 | 50 | 1,20 |
Рисунок 4. Температурный коэффициент для стали 30ХГСА
Рисунок 5. Степенной коэффициент для стали 30ХГСА
Рисунок 6. Скоростной коэффициент для стали 30ХГСА
Определение уравнения зависимости сопротивления деформации непосредственно от физических величин
Для проведения множественного регрессионного анализа нужно подготовить таблицу исходных данных, в которой каждому значению σт (отклику) соответствует набор из трех значений параметров: температуры, скорости деформации и степени деформации. При формировании таблицы нужно два из трех факторов оставлять неизменными, а третий должен меняться. Так следует смоделировать три опыта, в которых по очереди меняются значения температуры, степени деформации и скорости. Исходные данные для множественного регрессионного анализа приведены в таблице 7.
Таблица 7 – Исходные данные для составления уравнения σт = f (t, U, ε)
| σт=σ0*Kt*Ke*Ku | Т, С | E, % | U, c-1 |
| 82,77 | 1012,5 | 5,0 | 17,1 |
| 92,87 | 7,5 | ||
| 100,94 | 10,0 | ||
| 108,01 | 12,5 | ||
| 114,06 | 15,0 | ||
| 119,11 | 17,5 | ||
| 123,15 | 20,0 | ||
| 127,19 | 22,5 | ||
| 131,22 | 25,0 | ||
| 134,25 | 27,5 | ||
| 81,54 | 16,25 | 1 | |
| 91,88 | 2 | ||
| 101,07 | 4 | ||
| 105,66 | 6 | ||
| 112,55 | 8 | ||
| 114,85 | 10 | ||
| 122,89 | 20 | ||
| 128,63 | 30 | ||
| 135,52 | 40 | ||
| 138,97 | 50 | ||
| 151,30 | 900 | 17,1 | |
| 143,15 | 925 | ||
| 133,84 | 950 | ||
| 124,53 | 975 | ||
| 116,38 | 1000 | ||
| 108,24 | 1025 | ||
| 98,92 | 1050 | ||
| 91,94 | 1075 | ||
| 86,12 | 1100 | ||
| 79,14 | 1125 |
По подготовленной таблице в MS Excel с помощью функции «Регрессия» из пакета анализа данных проводим множественный регрессионный анализ.
В результате получаем уравнение σт= 390,20 - 0,33*T +2,21*E +0,98*U
Для выяснения статистической значимости коэффициентов уравнения сравниваем рассчитанные коэффициенты Стьюдента с табличными для числа наблюдений 10 и уравнения с четырьмя коэффициентами и доверительной вероятностью 95%. Коэффициенты Стьюдента, рассчитанные для коэффициентов t, ε , u оказались больше табличного коэффициента Стьюдента, то есть, статистически значимыми.
Для выяснения надежности аппроксимации полученным уравнением сравниваем рассчитанное число Фишера с табличным для степеней свободы (10-4=6) и доверительной вероятностью 95%. Рассчитанный критерий Фишера оказался больше табличного, значит, уравнение достоверно отражает исследуемую зависимость. Лист MS Excel с расчетом представлен на рисунке 7.
Рисунок 7 – Лист МS ExcelДля построения графика полученного уравнения с двумя неизвестными на плоскости нужно, чтобы один из факторов принимал два экстремальных значения, а второй непрерывно изменялся. Тогда графически это уравнение можно представить как область в координатах «изменяющийся параметр – предел текучести». Такие графики для полученного уравнения представлены на рисунках 8-10.
Рисунок 5. Зависимость сопротивления металла деформации от скорости деформации
Рисунок 6. Зависимость сопротивления металла деформации от температуры деформации
Рисунок 7. Зависимость сопротивления металла деформации от степени деформации
Планирование полного факторного эксперимента
Необходимо отыскать по экспериментальным данным уравнение, связывающее предел текучести сплава 30ХГСА со степенью деформации, скоростью деформации и температурой, путем постановки полного факторного эксперимента. Зададим параметры, влияющие на предел текучести, а также определим основной уровень (ОУ), интервалы варьирования (∆Х), а также верхний и нижний уровни факторов (-1/+1).
Таблица 8 – Факторы, влияющие на предел текучести
| факторы | -1 | ОУ | +1 | ∆Х |
| Х1- температура t, С | 900 | 1012,5 | 1125 | 112,5 |
| Х2 - степень деформации ε, % | 5 | 16,25 | 27,5 | 11,25 |
| Х3 - скорость деформации u, с-1 | 1 | 25,5 | 50 | 24,5 |
Введем фиктивную переменную Х0, всегда принимающую значение +1. Примем количество параллельных опытов равным 3 (таблица 9)
Таблица 9 – Матрица планирования эксперимента
| № | Х0 | Х1 | Х2 | Х3 | У1 | У2 | У3 |  у | S2 |
| 1 | +1 | -1 | -1 | -1 | 79,5 | 79,4 | 78,2 | 79,0 | 0,3 |
| 2 | +1 | +1 | -1 | -1 | 41,6 | 40,9 | 38,5 | 40,3 | 1,7 |
| 3 | +1 | -1 | +1 | -1 | 128,9 | 129,2 | 131,2 | 129,8 | 1,1 |
| 4 | +1 | +1 | +1 | -1 | 67,4 | 66,5 | 68,5 | 67,5 | 0,7 |
| 5 | +1 | -1 | -1 | +1 | 135,4 | 134,3 | 139,5 | 136,4 | 5,0 |
| 6 | +1 | +1 | -1 | +1 | 70,8 | 69,1 | 71,5 | 70,5 | 1,0 |
| 7 | +1 | -1 | +1 | +1 | 219,7 | 218,6 | 215,5 | 217,9 | 3,1 |
| 8 | +1 | +1 | +1 | +1 | 114,9 | 112,5 | 119,2 | 115,5 | 7,6 |
Оценка дисперсий среднего арифметического в каждой строке матрицы