Сопротивление материалов при нагрузке (стр. 1 из 2)
Задача 1
Абсолютно жесткий брус опирается на шарнирно-неподвижную опору и прикреплен к двум стержням с равным поперечным сечением. Площадь сечения стержней А = 2∙10-4 м2. Модуль упругости материала стержней Е = 2×105 МПа, коэффициент линейного расширения a = 12×10–6 1/град.Размеры бруса: a = 0,5 м, b = 3 м, h = 1м, с = 2 м.
Требуется:
1. Вычислить допускаемую нагрузку [Q], приняв большее из напряжений за допускаемое [s] = 160 МПа.
2. Вычислить допускаемую нагрузку по предельному состоянию [Q]пр.
3. Сравнить полученные результаты.
4. Вычислить монтажные напряжения в обоих стержнях, если длина второго стрежня короче номинальной на величину d2 = 2∙10-3 м
5. Вычислить напряжения в обоих стержнях, если температура первого стержня увеличится на величину Dt1 = -40°С.
6. Вычислить напряжения в обоих стержнях от совместного действия нагрузки, неточности изготовления второго стержня и изменение температуры первого стержня.
1. Вычислить допускаемую нагрузку [Q], приняв большее из напряжений в стержнях за допускаемое [s].
Составляем расчетную схему. Под действием силы Q стержни 1 и 2 будет растягиваться. Вследствие этого появятся внутренние силы N1 и N2. Составим уравнение моментов относительно точки О:
При неизвестных реактивных усилиях N1, N2, Rox, Roy и трех уравнений статики (плоская система сил) заданная стержневая система является статически неопределимой, и степень статической неопределимости (ССН) определяется:
ССН = m – n,
где m – количество неизвестных реакций, n – количество уравнений. Таким образом, ССН = 4 – 3 =1, то есть для решения данной задачи необходимо составить еще одно дополнительное уравнение, называемое уравнением совместности деформаций.
Составляем уравнение совместности деформаций. Из подобия треугольников АА1О и СС1О имеем:
.Считаем, что угловые деформации малы, поэтому изменением угла b пренебрегаем.
АА1=Dl2,
, KА1=Dl1. То есть: 
По закону Гука имеем:
; 
.Длину первого стержня определяем по теореме Пифагора:
мПодставляем значения удлинений в уравнение совместности деформаций:
.Тогда,
. Окончательно имеем: N2 = 1,3×N2Из этого выражения видно, что N1<N2. Соответственно, напряжения в первом стержне sI меньше, чем напряжения во втором sII. Поэтому, максимальные напряжения по абсолютному значению будут во втором стержне: sII= [s] и
кН. Значение N1 = 24,62 кН.Оба стержня сжаты.
Найдем напряжения в обоих стержнях: sII= [s] = -160 МПа; sI= -123,1 МПа. растянуты.
Подставим значения сил N1 и N2 в первое уравнение и определим значение [Q]:
кН.2. Вычислить допускаемую нагрузку по предельному состоянию [Q]пр.
Предельное состояние будет возникать, если напряжения в стержнях будут равны предельным, то есть пределу текучести sт: sI= sII= sт
Составляем уравнение предельного равновесия:
; 
.Предельные усилия в каждом из стержней:
.Решаем относительно предельной нагрузки для системы:
.Допускаемая нагрузка по предельному состоянию [Q]пр определяется как:
,где n – коэффициент запаса прочности.
С учетом, что
получим [Q]пр = 23,51 кН.3. Сравнить полученные результаты.
Определяем погрешность между расчетами:
%.По условию предельного состояния допускаемую нагрузку можно не менять (погрешность d < 5%).
4. Вычислить монтажные напряжения в обоих стержнях, если длина второго стержня короче номинальной на величину d2=1,5 мм.
Составляем расчетную схему. С учетом удлинения стержня 2 точка А должна совпасть с точкой Е, если бы не было стержня 1. Сопротивление первого стержня приводит к тому, что точка А занимает положение А1. В связи с этим, в стержнях появляются внутренние усилия N1 и N2. Составим уравнение статики:
; 
Из этого уравнения следует, что:
Составляем уравнение совместности деформаций. Из подобия треугольников АА1О и ВВ1О имеем:
; 
; 
; 
KВ1=Dl1.
По закону Гука:
; 
.Решая совместно уравнения получим:
N1= 29,76 кН; N2= 41,34 кН.
2 стержень сжат; 1 – растянут.
Определим напряжения:
sI=148,8 МПа; sII= -206,7 МПа.
5. Вычислить напряжения в обоих стержнях, если температура первого стержня уменьшится на величину Dt1=40°.
Составим расчетную схему. С учетом удлинения стержня 1 точка В должна совпасть с точкой Е, если бы не было стержня 2. Сопротивление второго стержня приводит к тому, что точка В занимает положение В1. В связи с этим, в стержнях появляются внутренние усилия N1 и N2. Составим уравнение статики:
; Из этого уравнения следует, что:
Составляем уравнение совместности деформаций. Из подобия треугольников АА1О и ВВ1О имеем:
; 
; 
; 
; 
; АА1=Dl2.По закону Гука:
; .Решая совместно получим:
N1=5,15 кН; N2=7,15 кН.
2 стержень сжат; 1 – растянут.
Определим напряжения:
sI=25,75 МПа; sII= -35,76 МПа.
5. Вычислить напряжения в обоих стержнях от совместного действия нагрузки, неточности изготовления второго стержня и изменение температуры первого стержня.
Сведем данные расчетов в Таблицу
Таблица 1.
| Фактор, вызывающий напряжения | Напряжения, МПа | |
| 1 стержень | 2 стержень | |
| Нагрузка [Q] = 20,96 МПа | -160 | -123,1 |
| Неточность изготовления 2-го стержня | 148,8 | -206,7 |
| Изменение температуры 1-го стержня | 25,75 | -35,76 |
| ИТОГО | 14,55 | -365,56 |
Из таблицы видно, что для заданной схемы для стержня 1 сочетания всех трех факторов является благоприятным фактором (напряжения значительно меньше допускаемых), а для стрежня 2 - неблагоприятным: стержень разрушится.
Задача 2
Дана двух опорная балка с приложенными к ней нагрузками М= -15кНм; F=-20 кН; q = 12 кН/м. Допускаемое напряжение [s] = 160 МПа. размеры балки a = 0,8 м; b = 0,7 м; c = 0,5 м.
Требуется:
1. Подобрать для схем (а) балку круглого, прямоугольного (отношение сторон h/b=2), кольцевого (отношение диаметров с=0,5), двутаврового сечений при заданном [s];