Рух механічної системи із двома ступенями волі (стр. 2 из 4)

, або , звідки .

Підставивши значення

й , і згрупувавши доданки, одержимо диференціальні рівняння відносного руху кульки і його швидкості:

(2.11)

Тут

, , , , .

3. Застосування загальних теорем динаміки до дослідження руху механічної системи

3.1 Складання рівняння руху твердого тіла за допомогою теореми про зміну кінетичного моменту

Механічною системою називається така сукупність матеріальних крапок, у якій положення й рух кожної крапки залежить від положення й руху інших крапок. Одержувані для системи матеріальних крапок теореми й співвідношення можна поширити й на системи, що складаються з одного або декількох взаємозалежних твердих тел. Обмеження, що накладаються на рух крапок і тіл механічної системи, називаються зв'язками. Виходячи із принципу свободи від зв'язків, рух кожної крапки системи можна розглядати як рух вільної крапки, якщо замінити дія зв'язків реакціями цих зв'язків. Тоді для кожної крапки, відповідно до основного рівняння динаміки матеріальної крапки, маємо:

(3.1.1)

і – маса й прискорення деякої крапки механічної системи; і – зовнішні й внутрішні сили (уже містять у собі реакції зв'язків).

Рівняння (3.1.1) - це основне рівняння динаміки, наслідком його є теореми про рух центра мас механічної системи й про зміну кількості руху, теореми про зміну кінетичного моменту й кінетичної енергії. Теорема про зміну кінетичного моменту застосовується для рішення задач, у яких розглядається рух механічної системи, що складає із центрального тіла, що обертається навколо нерухливої осі, і одного або декількох тіл, рух яких пов'язане із центральним. Зв'язок може здійснюватися за допомогою ниток, тіла можуть переміщатися по поверхні центрального тіла або в його каналах за рахунок внутрішніх сил. За допомогою даної теореми можна визначити залежність закону обертання центрального тіла від положення або руху інших тел.

Теорема про зміну кінетичного моменту формулюється в такий спосіб: повна похідна за часом від вектора кінетичного моменту механічної системи щодо деякого нерухливого центра

по величині й напрямку дорівнює головному моменту зовнішніх сил, прикладених до механічної системи, певному щодо того ж центра:

(3.1.2)

Тут

– кінетичний момент механічної системи щодо нерухливого центра ; він є мірою руху системи навколо цього центра й складається з кінетичних моментів всіх крапок і тіл, що входять у цю систему; – головний момент зовнішніх сил щодо нерухливого центра .

Визначимо головний момент зовнішніх сил:

, де й – плечі сил ваги кульки й трикутника;

(3.1.3)

Визначимо кінетичний момент системи. Він складається з кінетичних моментів кульки й трикутника:

.

Малюнок 3.1.1. Складання рівняння руху твердого тіла за допомогою теореми про зміну кінетичного моменту

, де модуль переносної швидкості дорівнює .

(3.1.4)

, – момент інерції трикутника щодо шарніра . Визначимо його по теоремі Штейнера:

(3.1.5)

(3.1.6)

З огляду на (3.1.4) і (3.1.6), кінетичний момент системи дорівнює:

(3.1.7)

Диференціюємо вираження (3.1.7):

(3.1.8)

Підставивши знайдені значення в (3.1.2), теорема про зміну кінетичного моменту прийме вид:

(3.1.9)

3.2 Визначення закону зміни зовнішнього моменту, що забезпечує сталість кутової швидкості

При дії зовнішнього моменту

, що забезпечує рівномірне обертання механічної системи навколо шарніра , остання доданок у лівій частині рівності (3.1.9) звертається в нуль:

, ; звідси .

Тоді вираження (3.1.9) прийме вид:

(3.2.1)

спрямований протилежно головному моменту зовнішніх сил, тобто, проти годинникової стрілки.

Зовнішній момент, що забезпечує рівномірне обертання конструкції, дорівнює:

(3.2.2)

4. Визначення реакцій в опорах обертового тіла

Визначимо реакції в опорі обертового тіла методом кінетостатики. Він полягає в рішенні задачі динаміки засобами (рівняннями) статики. Для кожної крапки механічної системи справедливо основне рівняння динаміки:

(4.1)

Тут

і – маса й прискорення деякої крапки системи; – сума всіх активних сил і реакцій зв'язків, прикладених до неї.

Основному рівнянню динаміки (4.1) можна додати вид рівняння статики:

(4.2)

Тут

– сила інерції крапки механічної системи.

Малюнок 4.1. Визначення реакцій в опорах обертового тіла

Для заданої механічної системи рівняння статики (4.2) має вигляд:

(4.3)

Для визначення реакції шарніра нам необхідно й досить взяти за координатні осі – нерухливі осі

й , і визначити тридцятимільйонні реакції шарніра на ці осі:

(4.4)

Звідси: