Оптимизационные модели принятия решений (стр. 4 из 5)

Проведем решение данной задачи в Excel. На начальном этапе подготовим форму для решения задачи на рабочем листе следующего вида

Рис. 2.6. Данные для решения примера 5

Отведем для искомых значений объемов выпуска продукции ячейки B8, C8, для расхода соответствующих ресурсов (включая трудозатраты) – ячейки B3, B4, B5. В данные ячейки необходимо ввести функции

=3*B8+5*C8

=4*B8+6*C8 и

=14*B8+12*C8 соответственно.

Численные значения ограничений по ресурсам внесем в ячейки C3, C4, C5. В ячейку E10 введем формулу для целевой функции

=11*B8+16*C8+0,1*B8^2+0,12*C8^2+0,22*B8*C8.

Решение задачи производится с помощью Поиска решения Excel. Изменяемыми ячейками будут, очевидно, ячейки B8, C8; целевая ячейка устанавливается равной максимальному значению; используются следующие ограничения: $B$3<=$C$3, $B$4<=$C$4, $B$5<=$C$5. Следует иметь в виду, что в связи с нелинейностью данной задачи необходимо в окне Параметры поиска решения отключить опцию Линейная модель (это замечание относится к решению всех задач, приведенных в данном разделе). В результате запуска Поиска решения получим ответ

и значение максимальной прибыли 507.407 тыс. руб.

Пример 6

Рассмотрим следующую задачу. Предприятие может выпускать два вида продукции. На ее изготовление требуются ресурсы трех видов (

). С учетом брака расход ресурсов на единицу производимой продукции - го вида ( ) определяется выражением , а прибыль в зависимости от объемов производства равна , где - искомый объем производства продукции - го вида; - норма расхода - го ресурса на производство единицы продукции - го вида; - коэффициент изменения расхода соответствующего ресурса с учетом выпуска бракованных изделий; - прибыль от единицы продукции - го вида; - коэффициент изменения прибыли, влияющий на объем производства продукции.

Требуется найти такие объемы производства продукции, при которых прибыль максимальна.

Значения параметров задачи приводятся в нижеследующей таблице.

Ресурс ( )	Запас ресурса	Норма расхода ресурсов на продукцию вида		Коэффициент изменения норм расхода ресурсов на продукцию вида
		1	2	1	2
1	1350	15	18	0,1	0,05
2	1400	12	16	0,2	0,2
3	1580	17	14	0,1	0,15
Прибыль (ден. ед.)		100	120
Коэффициент изменения прибыли		-0,08	-0,1

При заданных значениях параметров целевая функция имеет вид

,

или

.

Ограничения по ресурсам имеют вид

или

Как видно, в данной задаче как целевая функция, так и функции-ограничения являются нелинейными функциями. Требуется найти решение задачи в целых числах.

Решение

Заполним рабочий лист по аналогии с Рис 2.7

Рис. 2.7 Данные для решения примера 6

В ячейки B3¸B5 введем формулы-ограничения, в ячейку E8 – формулу для целевой функции. Дополнительное ограничение – на целочисленность переменных

. После запуска Поиска решения получим ответ

Пример 7

Рассмотрим задачу несколько иного рода. Пусть необходимо определить место расположения некоторого объекта, обслуживающего несколько других объектов (например, прачечная, обслуживающая нескольких крупных клиентов; нефтеперерабатывающий завод, на который должна поступать нефть с нескольких скважин, склад готовой продукции, обслуживающий ряд предприятий, производящих однотипную продукцию и т.п.), координаты которых известны. Цель – свести к минимуму транспортные расходы с учетом неравноценности клиентов (например, различные объемы заказов). В связи с этим возникает необходимость такого выбора координат объекта, чтобы транспортные расходы были минимальны.

В качестве целевой функции принимаем:

де

- искомые координаты обслуживающего клиентов объекта, - координаты -го обслуживаемого объекта, - заданные коэффициенты, характеризующие, например, объемы заказов, или удельную (в расчете на 1 км.) стоимость доставки из соответствующих объектов. Отметим, что в данной задаче не используются ограничения положительности .

Решение проведем для трех случаев, соответствующих 1) отсутствию каких-либо ограничений на координаты

, 2) необходимости размещения обслуживающего объекта на некотором прямолинейном отрезке (например, объект может быть расположен лишь на отдельном небольшом участке улицы), 3) расположению объекта в пределах некоторого круга заданного радиуса. Ограничимся случаем трех обслуживаемых объектов .

Первый случай. Отсутствуют какие-либо ограничения на координаты

.

Решение

Введем данные на рабочий лист в соответствии с приводимым ниже рисунком.

В качестве изменяемых ячеек выберем B10, B11; в качестве целевой ячейки - ячейку E11 и введем в нее формулу

=J6*КОРЕНЬ((B10-A6)^2+(B11-B6)^2)+K6*КОРЕНЬ((B10-D6)^2+(B11-E6)^2)+L6*КОРЕНЬ((B10-G6)^2+(B11-H6)^2).

Рис. 2.8 Данные для решения задачи о расположении объекта (без ограничений)

Решение задачи с помощью Поиска решения при заданных координатах точек

дает оптимальное значение целевой функции составляет 11,0746.

Второй случай. Координаты

принадлежат некоторому отрезку прямой линии, задаваемой уравнением

(в данном примере мы используем значения

).

Решение

Введем данные на рабочий лист в соответствии с приводимым ниже рисунком.

Очевидно, формула для целевой функции (ячейка E12) остается неизменной.

Рис. 2.9 Данные для решения задачи о расположении объекта (координаты объекта лежат на отрезке прямой линии)

Единственным отличием от предыдущего случая является необходимость ввода дополнительного ограничения в ячейку B13; в ячейку B13 вводится формула =B9-B15*B8 и в окне диалога Поиск решения вводится ограничение $B$13=$B$16.

Ответ

оптимальное значение целевой функции составляет 13,6843

Третий случай. Координаты

лежат внутри некоторой окружности радиуса (мы полагаем ). Данный случай может соответствовать, например, ситуации, когда необходимо разместить объект вблизи некоторого населенного пункта.