Сопротивление материалов (стр. 3 из 3)
По условию задачи дано:
[s] = R = 10 МПа = 1 кН/см2,
Подставляя эти значения,
Mmax = 108,842 кН м = 10884,2 кН см
Wx = 10884,2 / 1 = 10884,2 см3
Для прямоугольника Wx = bh2/6 , тогда при условии h = 2b
Wx = b(2b)2/6 = 4b3/6
b =
= 25,368 смh = 2b = 2*25,368 = 50,736 см
Принимаем сечение 26х52 см с площадью A = 26*52 = 1352 cм2
Определяем касательные напряжения в точке с наибольшей поперечной силой. Это также точка приложения сосредоточенного момента М
,где k – коэффициент, зависящий от формы сечения. Для прямоугольного сечения k = 1,5.
tmax = 1,5 * 20,117 / 1352 = 0,022 кН/см2 = 0,22 МПа
Рис. 4. Эпюра касательных напряжений
Задача 7
Для заданной схемы требуется:
1. Построить эпюры изгибающих моментов и поперечных сил;
2. Подобрать по ГОСТ двутавровое сечение балки, принимая расчетное сопротивление изгибу Rи = 160 МПа
3. Построить в опасном сечении эпюру нормальных напряжений
4. В сечении с наибольшей поперечной силой построить эпюру касательных напряжений.
Рис. 1. Расчетная схема .
Исходные данные:
а = 3,6 м,
q = 4 кН/м
F = 10 кН;
M = 150 кН м.
2. Отбросим заделку, заменив ее действие действием сил реакции. В сплошной заделке возникает три реакции: Момент MRи две реакции Rx и Ry.
Рис. 2. Расчетная схема
Составим уравнения равновесия, приняв направление по часовой стрелке за отрицательное, а против часовой стрелки – за положительное.
SM(A) = 0
MR – М - qa*1,5а+ F*2a = 0;
MR = M + 1,5qa2 - 2Fa;
MR =150 + 1,5*4*3,62 – 2*10*3,6 =155,76 кНм;
Составим систему уравнений проекций сил на ось Y
SP(Y) = 0
Ry+ F – qa = 0;
Ry = qa-F = 4*3,6-10 =4,4 кН;
Из построения проекций сил на ось Х видно, что реакция RX = 0.
Для построения эпюр следует рассмотреть балку в характерных сечениях. При построении эпюры Qсосредоточенные силы вызывают скачок эпюры, а моменты не оказывают на нее влияния. На участке действия распределенной нагрузки эпюра выражается наклонной линией. При построении эпюры М рассматривается влияние сил, оставшихся на рассматриваемой части балки на точку сечения. При этом учитывается только влияние моментов. Изгибаюший момент вызывает скачок на величину момента. Рассмотрим более подробно сечения в характерных точках балки. На первом участке отбрасываем правую часть балки, заменяя ее действием внутреннего момента М1, тогда
-М1 + MR – Ryа =0
М1 = MR – Ryа =155,76-4,4*3,6 = 139,92 кНм
На третьем участке отсечем левую часть балки. Для оставшейся части уравнение равновесия будет равно
М3 - M= 0
М3 = M= 150 кН м
На втором участке эпюра выражается параболической кривой с перегибом в точке, соответствующей координате z.
z = 3,6 / (1+ 1/(4,4/10)) = 1,100 м
Уравнение равновесия для координаты Z рассматриваем, отбросив правую часть балки.
-М2 + MR – Ry(а+z)+q*z2/2 = 0
М2 = MR – Ry(а+z)+q*0,125a2 = 155,76-4,4*4,7+2*1,12 = 137,500 кНм
Рис. 3. Эпюры N и М.
Условие прочности для балки выглядит следующим образом
По условию задачи [s] = Rи = 160 МПа = 16 кН/см2,
Подставляя эти значения,
Mmax = 155,76 кН м = 15576 кН см
Wx = 15576 / 16 = 973,5 см3
Параметры двутавра подбираем по справочнику. Ближайшая подходящая балка - №45, имеющая Wx = 1231 см3, при площади сечения А = 84,7 см2.
Максимальное значение напряжения составит
= 15576 / 1231 = 12,65 кН/см2 = 126,5 МПаСогласно закону распределения нормальных напряжений имеем
= 15576 / 27696 * 45/2 = 12,65 МПа 
Рис. 4. Эпюра нормальных напряжений для опасного сечения
Наибольшая поперечная сила наблюдается в сечении, где приложена сила F. Для этой точки касательное напряжение равно в соответствии с формулой Журавского
,где d – толщина стенки двутавра
tmax = 10*708 / (27696*0,9) = 0,28 кН/см2 = 2,8 МПа
В месте соприкосновения полок со стенкой касательные напряжения определяются как
,где
— статический момент полки двутавра относительно оси Х, равный 
=16*1,42(45/2-1,42/2) = 495,07 см3tА = 10*495,07 / (27696*0,9) = 0,171 кН/см2 = 1,71 МПа
Касательными напряжениями на полках двутавровой балки можно пренебречь ввиду их незначительности
Рис. 5. Касательные напряжение в двутавровой балке в точке действия наибольших перерезывающих сил.