Исследование и разработка САР скорости ленты конвейера КЛ5250 для экскаватора ЭРШР Д 5250 (стр. 5 из 11)
P[| Vx(t) – Vзаг(t) | > e] = min. (1)
Требование минимума математического ожидания абсолютной величины разности между Vx(t) и Vзаг(t) означает выполнение условия
M[Vx(t) – Vзаг(t)] = min. (2)
Наконец, требование минимальной величины математического ожидания квадрата разности (требование минимума второго начального момента) приводит к условию
M{[Vx(t) – Vзаг(t)]2} = min. (3)
Если математические ожидания случайных функций Vзаг(t) и Vx(t) не равны нулю, то условие (3) целесообразно дополнить требованием
M[Vx(t) – Vзаг(t)] = 0,
которое означает отсутствие систематической погрешности системы. В этом случае условие (3) может быть переписано в виде
D[Vx(t) – Vзаг(t) ] = min
и соответствует простому физическому условию обращения в минимум дисперсии или среднего квадратического отклонения.
Несмотря на различную математическую формулировку оптимального приближения скорости Vx(t) к скорости Vзаг(t), физически эти критерии близки между собой, так как их выполнение означает, что скорость Vx(t), как правило, не сильно отклоняется от скорости Vзаг(t). Поэтому следует ожидать, что свойства динамической системы регулирования, построенной с учетом любого из этих требований, не будут сильно различаться. Это позволяет из большого числа возможных критериев выбрать наиболее простой критерий минимума среднего квадратического отклонения. Кроме того, когда скорости Vx(t) и Vзаг(t) являются нормальными (грузопоток является нормальным случайным процессом, а поскольку скорость Vзаг(t) – его линейное преобразование, то и она нормальна) и математическое ожидание разности Vx(t) – Vзаг(t) равно нулю, это требование гарантирует одновременное выполнение также условий (1) и (2).
Предположим, что на вход системы регулирования поступает полезный сигнал Vгр(t), пропорциональный грузопотоку, с наложенной на него помехой Vэкв(t), так что входной сигнал имеет вид
Vd[(t) = Vuh(t) + V’rd(t) (4)
где Vэкв(t) – эквивалентное приведенное ко входу электронного преобразователя (грузопоток – сигнал) значение помехи.
Воздействия Vгр(t) и Vэкв(t) являются стационарными случайными функциями с известными корреляционными функциями и равными нулю средними значениями. Если средние значения этих воздействий не равны нулю, то можно ввести центрированные величины V'i(t) = Vi(t) – M[V'(t)], средние значения которых равны нулю.
Система должна осуществлять линейное преобразование полезного сигнала Vгр(t) на входе в сигнал Vзаг(t) на выходе согласно формуле
L[Vзаг(t) ] = H(s) L[Vгр(t)], (5)
где H(s) – заданный преобразующий оператор; L – некоторый линейный оператор.
Введем обозначения
Vrp(t) = m'(t), Vэкв(t) = n(t), Vвх(t) = j(t), Vзаг(t) = h(t), Vx(t) = x(t)
и рассмотрим решение этой задачи.
Формулы (4) и (5) примут вид
j (t) = m'(t) + n(t), L[h(t)] = Н(s)L[m (t)].
Требуется, пользуясь этими данными, найти импульсную переходную функцию K(t), удовлетворяющую условию физической осуществимости K(t)=0, t=0 и обеспечивающую на интервале времени Т минимум среднего значения квадрата погрешности
(6)между требуемым h(t) и возможным в рассматриваемых условиях, изменением величины x(t) на выходе системы. Найдем выражение для среднего значения квадрата погрешности e2. Учитывая, что
,получим на основании (6)
(7)Задача заключается в том, чтобы найти передаточную функцию Ф(jw) системы регулирования
,при которой величина e2 минимальна. Выражение для искомой передаточной функции
, (8)где Ghj(w) – взаимная спектральная плотность процессов h и j ; y1(jw), y2(jw) – вспомогательные функции, которые являются преобразованиями Фурье от функций y1(t) = 0 при t <0 , y2(t) = 0 при t > 0.
Передаточную функцию y(jw), удовлетворяющую равенству (8), называют оптимальной передаточной функцией, так как она обеспечивает минимальную среднюю квадратическую погрешность совместно с условием физической осуществимости K(t) = 0 при t < 0, где
Задача нахождения функций y1(jw) и y2(jw) сводится к задаче разложения четной функции Gj(w), удовлетворяющей условию Gj(w)=0, на два множителя, из которых один представляет собой функцию, аналитическую и ограниченную в верхней полуплоскости, а другой функцию, аналитическую и ограниченную в нижней полуплоскости. Можно показать, что квадратическая амплитудная характеристика A2 (w) является подобно Gj(w) неотрицательной и четной функцией от w и может быть представлена в виде произведения двух множителей, один из которых содержит все нули и полюсы, расположенные в верхней полуплоскости, а другой – все нули и полюсы, расположенные в нижней полуплоскости, причем эти множители представляют собой комплексно сопряженные функции.
Следовательно, функции y1(jw) и y2(jw), удовлетворяющие тем же условиям, что и указанные два множителя, также представляют собой комплексно сопряженные функции
y1(jw) =y2*(jw) = y(jw)
y2(jw) = y1*(jw) = y*(jw)
y1(jw)y2(jw) = | y(jw) |2 = Gj(w) (9)
и способ определения функций y1(jw), y2(jw) из Gj(w) (по крайней мере, если эта последняя представляет собой дробно-рациональную функцию от w) аналогичен способу определения передаточной функции Ф(jw) по соответствующей ей квадратической амплитудной частотной характеристике.
Таким образом, в общем виде окончательное выражение для оптимальной передаточной функции имеет вид
,где функция y(jw) определяется формулой (9).
Рисунок 2.3 Характер изменения скорости в месте загрузки при непрерывном регулировании
Оценим среднюю квадратическую погрешность e, которая влияет на выбор ширины ленты. По рассчитанной оптимальной передаточной функции находим среднюю квадратическую погрешность. Скорость ленты конвейера в месте погрузки Vx(t) может в среднем отличаться от скорости, пропорциональной грузопотоку Vзагр(t) на величину ±ev (рисунок 2.3).
При отрицательной погрешности -ev скорость ленты меньше необходимой скорости, и в этом случае возможны просыпи груза, поэтому величина ev должна быть меньше величины рассчитанной погрешности eдоп.
При нормальной работе конвейера его производительность равна
Q =3600Fгvнg, (10)
где Fг — площадь поперечного сечения груза на ленте; Vн — номинальная скорость конвейера; g — насыпная плотность груза.
Площадь поперечного сечения Fг (рисунок 2.4,а) определяем при условии, что на ленте шириной В груз занимает ширину b=0,9B – 0,05 (рабочая ширина ленты) Максимальным резервом конвейера по производительности при условии, что отсутствуют просыпи, является величина
DQк = Qк max – Qк
а)
б)
Рисунок 2.4 Определение максимально возможной площади поперечного сечения груза на ленте (а), и зависимость максимально допустимого значения eдоп от угла наклона боковых роликов (б)
Величину Qк max определяем из выражения
Qк max = 3600Fг maxvнg, (11)
где Fг max– максимально возможная площадь поперечного сечения, рас-считанная, например, при b = 0,9В.
При равных Qк в (10) и (11) резерв по площади позволяет иметь разные скорости, определяемые из выражения
v'н = FVн / Fmax(12)
Скорость v'н является минимально допустимой, при которой нет потерь груза.
Величину относительной погрешности по номинальной скорости, которую должна обеспечить система автоматического регулирования, определим как
.Подставляя выражение v'н изформулы (12), получим
.Таким образом, допустимая погрешность регулирования по скорости зависит от геометрии грузонесущего полотна конвейера. Если окажется, что рассчитанная оптимальная передаточная функция не обеспечит выполнение условия
, то необходимо брать ленту большей ширины.Зависимость допустимой погрешности от угла bР наклона боковых роликов eдоп = f(bР) приведена на рисунке 2.4,б. Из графика следует, что у конвейера существует оптимальная геометрическая форма линейной секции, обеспечивающая максимальную допустимую погрешность.
Выражение (7) для среднего значения квадрата погрешности системы непрерывного регулирования скорости может быть представлено в виде
Сравнивая величину
с рассчитанным значением погрешности eдоп, можно сделать вывод о возможности работы конвейера с заданными характеристиками при непрерывном регулировании его скорости с входным грузопотоком, обладающим соответствующей динамикой.