Методы и средства электрических измерений (стр. 3 из 4)

Δ

= (С /100) ∙ΔР (МПа),

Δ

= ×2,7 = 0,0162МПа.

Тогда граничная относительная погрешностьδ

определится:

δ

=

,

δ

= = 0,0279 (2%).

Задача № 5

По результатам 13 измерений были получены статистические характеристики температуры: оценка математического ожидания

и оценка с. к. о .

Вычислить:

1) при условии нормального распределения результатов измерений доверительную вероятность выполнения неравенства

°С;

2) для заданной доверительной вероятности

=0,8 определить доверительный интервал для дисперсии.

1) Для случая симметрии относительно оценки m^oимеем:

I_mβ= (m^o - ε_mβ, m^о + ε_mβ); P{m^o - ε_mβ ≤ m≤ m^о + ε_mβ} = β. (8)

Перепишем выражение (8) для доверительной вероятности:

Р

m^o _- m ≤ εmβ

= β,

для заданного неравенства это выражение будет иметь вид:

Р

m_{t -} m_t^o ≤ εmβ

= β,

где ε_mβ = 0,77^оС.

Определение доверительной вероятности может быть сведено к использованию таблицы распределения Стьюдента, приведенной в Приложении Б и формулы:

ε _mβ = t_β ·

(D^o/N), (9)

где D^o - оценка дисперсии; t_β = F_{m (}N-1, β) - функция от доверительной вероятности и числа степеней свободы, квантиль или коэффициент Стьюдента; N - количество измерений.

Оценку дисперсии можно определить по известной оценке с. к. о.

:

D^o= (σ_t⁰) ² = 0,5² = 0,25 (^оС) ².

Тогда квантиль t_β выводим из формулы (9):

t_β = ε_mβ / (

^o/ ), (10)

t_β = 0,77/

= 0,77/0,13867504905 = 5,55.

Зная коэффициент Стьюдента t_β и количество степеней свободы (t_β = =5,55; N-1=13-1=12), по таблице распределения Стьюдента, определим доверительную вероятность β, это будет β = 0,99.

2) Доверительный интервал для дисперсии I_Dβи соответствующая доверительная вероятность β имеют следующий вид:

I_Dβ= (D_1β, D_2β), P{ D_1β≤ D≤ D_2β} = β, (11)

где D_1β и D_{2 β} определяются по формулам (12) и (13):

D_1β = D^o (N-1) / V_2β, (12)

D_{2 β} = D^o (N-1) / V_1β. (13)

V - специальная случайная величина, которую можно представить соотношением (14), с использованием оценокm^oи D^o:

V= D^o (N-1) / D. (14)

Величина Vраспределена по закону Пирсона с N-1 степенями свободы. Таблица распределения Пирсона приведена в Приложении В, на основе которой по задаваемым некоторым дискретным значениям р и 1 ≤ N-1≤ 30 определяется величина (15):

V_р = F_D (N-1, р). (15)

где V_р - это функция закона распределения Пирсона.

Введем V_1β, V_2β - граничные точки интервала для случайной величины V; пусть их значения таковы, что для заданной доверительной вероятности р соответствующие вероятности (р₁ и р₂) вычисляются следующим образом (16):

Р

= р₂ =

; V_2b= F_D . (16)

,

и для них определим граничные точки интервала для случайной величиныVэто - V_1β, V_2β формулы (14 и 15). При этом используем таблицы распределения Пирсона, приведенные в Приложении В.

При N-1 = 12 и р₁ = 0,1, р₂ = 0,9 граничные точки интервала будут равны:

V_1β = 6,304,V_2β = 18,549.

Определим искомый доверительный интервал:

I_Dβ= (D_1β, D_2β) или I_Dβ= (

).

Подставляем численные значения и получаем:

I_Dβ=

= (0,1617; 0,4758),

где D_1β= 0,1617, D_2β= 0,4758, доверительная вероятность при этом будет иметь вид:

Р{0,1617≤ D≤ 0,4758} = β = 0,8.

Задача № 6

Тепловой поток Q (Вт), отводимый от теплообменного аппарата, может быть определён на основе косвенного измерения по формуле:

Q=G·с· (t_o-t₁),

где G - расход рабочего тела (кг/с), t_o, t₁-температура рабочего тела на входе и выходе теплообменного аппарата, c-удельная теплоёмкость рабочего тела (Дж/кг) - является табличной характеристикой. Величины G, t_o, t₁ - определяются с помощью прямых измерений расхода и температур при с. к. о. погрешностей измерения

=0,5 кг/с, =0,5°С. Вычислить - с. к. о. погрешности измерения Qпри с = 4, 19×10³ Дж/кг°С, G=53 кг/с, t_o=25°С, t₁=12°С.

Чтобы оценить погрешности косвенного измерения необходимо определить характеристики (параметры) измерений: σ_s - с. к. о.; (σ_s) ² - дисперсию; (σ_s^о) ² - оценку дисперсии.

Они определяются по формулам (16) как сумма частных производных Gпо х_{s -} это оценка дисперсии результирующей погрешности:

(

) ² = . (16)

Если вернуться к нашему примеру с исходной зависимостью (17):

Q= G· с· (t_{0 -} t₁), (17)

то частные производные Qпо G, t₀,t₁ будут иметь вид:

= с× (t₀ - t₁), = G×c, = - G×c. (18)

Подставим численные значения:

= 4, 19×10³ × (25-12) = 54,47×10³;

= 53×4, 19×10³ = 222,07×10³;

= - 222,07×10³.

Тогда суммарная оценка погрешности косвенного измерения выделенного тепла (или оценка дисперсии результирующей погрешности) будет:

(

) ² = + + (19)

(σ_Q) ² = (54,47×10³) ²×0,5² + (222,07×10³) ²× 0,5² + ( - 222,07×10³) ²×0,5²=

= 741745225;

σ_Q=

= 27,235 (Дж).

Список использованных источников

1. ГОСТ 2.105-95. ЕСКД. Общие требования к текстовым документам [Текст]. - М.: Изд-во стандартов, 1996 - 27 с.

2. Березовский, Ю.М. Метрология, стандартизация и сертификация [Текст]: Учебное пособие для студентов специальностей: 1706, 2102, 0702, 2202 очной и заочной форм обучения / Ю.М. Березовский. - М.: МГУТУ, 2004 - 68с.